2-TORÇÃO Torção em barras de seção circular Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na extremidade livre por um ...

2-TORÇÃO

Torção em barras de seção circular

Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na extremidade livre por um momento torsor Mt (figura 2.1). No engastamento, surgirá um momento de mesmo valor com sentido oposto. Na deformação elástica, cada seção da barra terá uma rotação γ (ângulo de torção). Aparecerá, assim, em cada seção da barra, tensões de cisalhamento τ. Hipóteses básicas: 1. As tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores são proporcionais ao mesmo. 2. As seções executam rotações elásticas como se fossem corpos rígidos. Seja: A tensão aplicada na face 34, e a mesma tensão (reativa) na face oposta 12 são insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas forças provocadas por elas formam um binário. Assim, devem existir tensões longitudinais de cisalhamento (τl). O Teorema de CAUCHY diz que as tensões em planos perpendiculares são iguais. Da equação 2.1: ττ ⋅= ar r, e equação 2.4: γτ ⋅= G, substituindo temos: γγ ⋅= ar r (Equação 2.6) Obtém-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das forças elementares aplicadas na seção. Em um anel circular (conforme figura 2.4) de espessura ∂r, o momento ∂Mt é dado pela resultante das tensões τ na área elementar ∂A. Sendo rAM rt ⋅∂⋅=∂τ e rrA ∂⋅⋅⋅=∂π2, temos: rrr a rMt ∂⋅⋅⋅⋅⋅=∂πτ2 a rMt ∂⋅⋅⋅=∂ 32πτ (Equação: 2.7) Da equação 2.8 podemos determinar a tensão de cisalhamento (τ) em função do momento torsor (tM) e do diâmetro (D): 3 2 a Mt ⋅⋅=πτ, como 2 Da =, portanto para seção circular temos: 3 16 D Mt ⋅⋅=πτ (Equação 2.9) Da teoria de flexão, temos a tensão normal (σ) em função do momento fletor (M) e momento de inércia (I), conforme equação abaixo: W M yI My I M ==⋅=/ σ (Equação 2.10) Fazendo uma analogia da teoria de flexão com a teoria de Torção, temos a tensão de cisalhamento (τ) em função do momento torsor (tM), conforme equação abaixo: t t W M D M D = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⋅⋅ = 16 16 33 ππτ (Equação 2.11) Da equação 2.11, podemos determinar o módulo de resistência à torção para seção circular cheia: 16 3 DWt ⋅=π (Equação 2.12) Cálculo do Giro Relativo (ϕ): Da teoria de pequenos deslocamentos, sabemos que o arco se confundi com a tangente ϕ∂ é muito pequeno → arco ≈ tangente. A partir da figura acima e da teoria de pequenos deslocamentos, temos: tangente = a⋅∂ϕ = x∂⋅γ (γ é muito pequeno). Dessa relação, temos: a x∂⋅ =∂ γϕ (Equação 2.13) Para calcularmos o giro relativo bastar integrar a equação 2.13. Da integração vem: l⋅=∴ a γϕ (Equação 2.15) Sendo Gτγ = → aG ⋅⋅= lτϕ (Equação 2.16) A partir da equação 2.16 e aplicando a para a seção circular temos: 2 D 32 4DG Mt ⋅⋅⋅ ⋅⋅ = πϕ l (Equação 2.17) Simplificando temos: 4 32 DG Mt ⋅⋅ ⋅ = πϕ l (Equação 2.18) Ou t t IG M ⋅⋅ = lϕ com 32 4DIt ⋅=π. Resumindo: seção circular cheia.
Hipóteses básicas da torção em barras de seção circular
Equação que relaciona as tensões de cisalhamento e o raio da seção
Equação que relaciona o momento torsor, o diâmetro e a tensão de cisalhamento
Equação que relaciona a tensão de cisalhamento, o momento torsor e o giro relativo