Prove that if { }1, 2B = , then ( ) { } { } { }{ }, 1 , 2 , 1, 2B℘ = ∅, with the tables below, is a Boolean Algebra, more precisely, ( ) { }, , , '...
a) If , , , ',0,1B〈 ∨ ∧ 〉 is a Boolean Algebra and 'x B∈ is the Boolean complement of x B∈, then 'x is unique;
b) ( )' 'x x=;
c) x x x∨ =;
d) x x x∧ =.
Essa pergunta também está no material:
💡 1 Resposta
Ed 
Para provar que ( ) { }, , , ', , 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉 é uma Álgebra Booleana, precisamos verificar se ela satisfaz as seguintes propriedades: 1. Existência de elementos 0 e 1: a tabela abaixo mostra que existem elementos 0 e 1 em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | y | x ∨ y | x ∧ y | |---|---|-------|-------| | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 2 | | 2 | 1 | 1 | 2 | | 2 | 2 | 2 | 2 | 2. Existência de complemento: a tabela abaixo mostra que existe um complemento para cada elemento em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | 'x | |---|---| | 1 | 2 | | 2 | 1 | 3. Associatividade: a tabela abaixo mostra que a operação ∨ é associativa em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | y | z | x ∨ (y ∨ z) | (x ∨ y) ∨ z | |---|---|---|-------------|-------------| | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | A tabela abaixo mostra que a operação ∧ é associativa em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | y | z | x ∧ (y ∧ z) | (x ∧ y) ∧ z | |---|---|---|-------------|-------------| | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4. Comutatividade: a tabela abaixo mostra que a operação ∨ é comutativa em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | y | x ∨ y | y ∨ x | |---|---|-------|-------| | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 1 | | 2 | 1 | 1 | 1 | | 2 | 2 | 2 | 2 | A tabela abaixo mostra que a operação ∧ é comutativa em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | y | x ∧ y | y ∧ x | |---|---|-------|-------| | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 2 | 2 | | 2 | 1 | 2 | 2 | | 2 | 2 | 2 | 2 | 5. Distributividade: a tabela abaixo mostra que a operação ∨ é distributiva em relação à operação ∧ em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | y | z | x ∨ (y ∧ z) | (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) | |---|---|---|-------------|-------------------| | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 6. Identidade: a tabela abaixo mostra que a operação ∨ tem elemento identidade 0 em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | x ∨ 0 | |---|-------| | 1 | 1 | | 2 | 2 | A tabela abaixo mostra que a operação ∧ tem elemento identidade 1 em 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉. | x | x ∧ 1 | |---|-------| | 1 | 1 | | 2 | 2 | Portanto, podemos concluir que ( ) { }, , , ', , 1, 2B〈℘ ∪ ∩ ∅ 〉 é uma Álgebra Booleana.
✏️ Responder
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Outros materiais
Perguntas relacionadas
Materiais relacionados
6 pág.
2 pág.
Compartilhar