Calcule ∫ S 1√1+4x2+4y2 dS, onde S é a parte da superf́ıcie z = 1−x2−y2 que se encontra dentro do cilindro de equação x2 + y2 = 2y. Resp. π. a) ...

Para calcular a integral ∫ S 1√1+4x2+4y2 dS, onde S é a parte da superfície z = 1−x2−y2 que se encontra dentro do cilindro de equação x2 + y2 = 2y, podemos utilizar o Teorema de Gauss: ∫ S 1√1+4x2+4y2 dS = ∫∫ D 1/√1+4x2+4y2 dA, onde D é a projeção de S no plano xy. A equação do cilindro é x2 + y2 = 2y, ou seja, x2 + (y-1)2 = 1. Podemos reescrever a equação da superfície como z = x2 + y2, e substituir x2 + y2 por z na equação do cilindro, obtendo x2 + (y-1)2 = 1 → x2 + y2 - 2y + 1 = 1 → x2 + y2 = 2y. Assim, a projeção de S no plano xy é o círculo de raio 1 e centro (0,1). Podemos fazer a mudança de variáveis x = rcosθ e y = rsenθ, onde 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Então, temos: ∫∫ D 1/√1+4x2+4y2 dA = ∫∫ R 1/√1+4r2cos2θ+4r2sen2θ r dr dθ, onde R é a projeção de S no plano uv, dada por R = {(r,θ) | 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π}. Podemos simplificar a expressão dentro da integral usando a identidade trigonométrica cos2θ+sen2θ = 1, obtendo: ∫∫ R 1/√1+4r2 dA = ∫0^1 ∫0^2π 1/√1+4r2 r dθ dr. A integral em θ é simplesmente 2π, e a integral em r pode ser resolvida fazendo a substituição u = 1+4r2, du = 8r dr: ∫0^1 ∫0^2π 1/√1+4r2 r dθ dr = ∫5^1 1/2√u du = [√u]5^1 = √5 - 1. Portanto, a integral ∫ S 1√1+4x2+4y2 dS é igual a √5 - 1π.