Uma lâmina S tem a forma do cone z = 4 − 2√x2 + y2 limitada pelo plano XY. A densidade de S em cada ponto é proporcional à distância desse pont...

Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo Z, podemos utilizar o Teorema de Steiner. Primeiro, precisamos encontrar o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo vértice do cone. Usando coordenadas cilíndricas, temos que a equação do cone é dada por $z = 4 - 2\sqrt{r^2}$, onde $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. A densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo Z, ou seja, à coordenada $r$. Portanto, a densidade pode ser escrita como $\rho = kr$, onde $k$ é uma constante de proporcionalidade. Para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo vértice do cone, podemos usar a fórmula $I_z = \iiint_V r^2 \rho \, dV$, onde $V$ é o volume do cone. Usando coordenadas cilíndricas, temos que $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$, e as integrais são calculadas sobre as seguintes limites: $0 \leq r \leq 2$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq z \leq 4 - 2\sqrt{r^2}$. Substituindo $\rho = kr$ e integrando, obtemos: $I_v = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-2\sqrt{r^2}} r^2 kr \, dz \, dr \, d\theta = \frac{32\pi}{15}k$ Agora, podemos usar o Teorema de Steiner para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo Z. O Teorema de Steiner afirma que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a uma distância $d$ de um eixo que passa pelo centro de massa é dado por $I_z = I_v + Md^2$, onde $I_v$ é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e $M$ é a massa do objeto. Para encontrar o centro de massa do cone, podemos usar a fórmula $z_c = \frac{\iiint_V z \rho \, dV}{\iiint_V \rho \, dV}$. Substituindo $\rho = kr$ e integrando, obtemos: $z_c = \frac{\int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-2\sqrt{r^2}} z kr \, dz \, dr \, d\theta}{\int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-2\sqrt{r^2}} kr \, dz \, dr \, d\theta} = \frac{16}{5}$ Portanto, a distância entre os eixos Z e que passa pelo centro de massa é $d = \frac{16}{5}$. Substituindo $M = \iiint_V \rho \, dV$ e $I_v = \frac{32\pi}{15}k$ na fórmula do Teorema de Steiner, obtemos: $I_z = I_v + Md^2 = \frac{32\pi}{15}k + \frac{32}{25}M$ Precisamos encontrar a constante de proporcionalidade $k$ para poder calcular o momento de inércia. Para isso, podemos usar a fórmula $M = \iiint_V \rho \, dV$. Substituindo $\rho = kr$ e integrando, obtemos: $M = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-2\sqrt{r^2}} kr \, dz \, dr \, d\theta = \frac{16\pi}{3}k$ Substituindo $M = \frac{16\pi}{3}k$ na fórmula do momento de inércia, obtemos: $I_z = \frac{32\pi}{15}k + \frac{32}{25} \cdot \frac{16\pi}{3}k = \frac{12}{5}M$ Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo Z é $\frac{12}{5}M$, onde $M$ é a massa do cone.