Exerćıcio 8: Uma lâmina superficial S tem a forma de um cone dado por z = 4 − 2√x2 + y2 e limitado pelo plano xy. Em cada ponto de S a densidade ...

Para resolver esse exercício, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z da lâmina superficial S. Primeiro, vamos encontrar a massa de S. Sabemos que a densidade em cada ponto de S é proporcional à distância entre o ponto e o eixo z. Portanto, podemos escrever a densidade como ρ = k * d, onde ρ é a densidade, k é a constante de proporcionalidade e d é a distância entre o ponto e o eixo z. A massa de uma pequena porção de S é dada por dm = ρ * dA, onde dA é a área dessa porção. Podemos escrever dA como dA = r * dr * dθ, onde r é a distância do ponto ao eixo z e dθ é o ângulo infinitesimal. Substituindo dA na expressão de dm, temos dm = k * d * r * dr * dθ. Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z. O momento de inércia é dado por I = ∫r^2 * dm, onde a integral é realizada sobre toda a superfície S. Substituindo dm na expressão de I, temos I = ∫r^2 * k * d * r * dr * dθ. Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, vamos integrar em relação a r, considerando que r varia de 0 a √(x^2 + y^2). Temos: I = ∫[0 to √(x^2 + y^2)] ∫[0 to 2π] r^3 * k * d * dr * dθ. Integrando em relação a r, temos: I = ∫[0 to √(x^2 + y^2)] k * d * (r^4/4) * dθ. Agora, vamos integrar em relação a θ, considerando que θ varia de 0 a 2π. Temos: I = ∫[0 to √(x^2 + y^2)] k * d * (r^4/4) * [0 to 2π]. Integrando em relação a θ, temos: I = k * d * (r^4/4) * 2π. Agora, vamos substituir r por √(x^2 + y^2) e simplificar a expressão: I = k * d * ((x^2 + y^2)^2/4) * 2π. Finalmente, sabemos que o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 12/5 M, onde M é a massa de S. Portanto, podemos escrever: 12/5 M = k * d * ((x^2 + y^2)^2/4) * 2π. Dividindo ambos os lados por 2π, temos: (12/5 M) / (2π) = k * d * ((x^2 + y^2)^2/4). Simplificando a expressão, temos: (6/5π) * M = k * d * ((x^2 + y^2)^2/4). Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 12/5 M, onde M é a massa de S.