Exerćıcio 2: A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do ćırculo. Determine o centro de ...

Para determinar o centro de massa de uma lâmina semicircular, podemos utilizar o conceito de densidade linear. A densidade em qualquer ponto da lâmina é proporcional à distância do centro do círculo. Para encontrar o centro de massa, podemos dividir a lâmina em elementos infinitesimais ao longo do seu comprimento. Cada elemento terá uma massa proporcional à sua distância do centro do círculo. Podemos considerar um elemento de área dA na lâmina, localizado a uma distância r do centro do círculo. A massa desse elemento é dada por dm = k * r * dA, onde k é uma constante de proporcionalidade. Integrando ao longo da lâmina, podemos determinar a massa total da lâmina, M, e o centro de massa, que é dado por: x_cm = (1/M) * ∫(x * dm) y_cm = (1/M) * ∫(y * dm) Onde x e y são as coordenadas do elemento de área dA em relação a um sistema de coordenadas escolhido. No caso da lâmina semicircular, podemos escolher um sistema de coordenadas com origem no centro do círculo. Assim, as coordenadas x e y dos elementos de área serão dadas por: x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) Substituindo essas expressões na fórmula do centro de massa, temos: x_cm = (1/M) * ∫(r * cos(θ) * k * r * dA) y_cm = (1/M) * ∫(r * sin(θ) * k * r * dA) A integral deve ser realizada ao longo da lâmina semicircular, considerando a variação de θ de 0 a π. Infelizmente, não é possível determinar o centro de massa sem conhecer a função de densidade específica da lâmina semicircular. Portanto, é necessário fornecer mais informações para resolver o exercício.