Uma lâmina no plano XY é limitada dentro da circunferência x² + (y−2)² = 4 e fora da circunferência x²+y² = 4. Calcule a massa da lâmina se a ...

Para calcular a massa da lâmina, precisamos integrar a densidade δ(x,y) sobre a região delimitada pelas circunferências. Podemos fazer isso utilizando coordenadas polares. A região delimitada pelas circunferências é um anel com raio interno 2 e raio externo 2√2. Assim, podemos escrever a integral da massa como: m = ∫∫ δ(x,y) dA m = ∫(0 to 2π) ∫(2 to 2√2) √(r²cos²θ + (r²sinθ - 2)²) r dr dθ m = ∫(0 to 2π) ∫(2 to 2√2) √(r⁴ + 4r² - 4r²sinθ) dr dθ m = ∫(0 to 2π) ∫(2 to 2√2) √(r⁴ - 4r²sinθ) dr dθ Podemos resolver a integral interna utilizando substituição trigonométrica: u = r² - 4sinθ du = 2r dr Assim, a integral interna fica: ∫(2 to 2√2) √(r⁴ - 4r²sinθ) dr = 1/2 ∫(-8sin²θ to 0) √u du ∫(2 to 2√2) √(r⁴ - 4r²sinθ) dr = 1/2 [2/3 u^(3/2)](-8sin²θ to 0) ∫(2 to 2√2) √(r⁴ - 4r²sinθ) dr = 4/3 (sin³θ) Substituindo na integral da massa: m = ∫(0 to 2π) 4/3 (sin³θ) dθ m = 16π/3 Portanto, a alternativa correta é a letra B).