Seja p um número primo. Mostre que, se  pSa ∈ tem ordem p, então  é p-ciclo.

Essa pergunta está relacionada à teoria dos grupos e ciclos de permutação. Para provar que α é um p-ciclo, é necessário mostrar que α tem exatamente p elementos e que α não possui nenhum ponto fixo. Se α tem ordem p, então α^p = 1, onde 1 é a permutação identidade. Além disso, como p é um número primo, a ordem de qualquer elemento não trivial em um grupo cíclico de ordem p é p. Portanto, cada elemento em α tem ordem p. Suponha que α tem um ponto fixo, digamos α(i) = i. Então, podemos escrever α como um produto de dois ciclos disjuntos: α = (i)β, onde β é uma permutação que não possui i em seu suporte. Como α tem ordem p, então β tem ordem p-1. Mas isso é impossível, pois p-1 não é divisível por p. Portanto, α não pode ter nenhum ponto fixo. Assim, concluímos que α é um p-ciclo.