2) Prove a desigualdade: ln(1 ) , 0x x x+ < ∀ > Dica: Aplique o TVM para a função ( ) ln(1 )f x x= + no intervalo [0, ]x . Provar a desi...

Para provar a desigualdade ln(1+x) < x, para todo x > 0, podemos utilizar o Teorema do Valor Médio (TVM) para a função f(x) = ln(1+x) no intervalo [0,x]. Assim, temos que: f'(x) = 1/(1+x) Aplicando o TVM, temos que existe um número c no intervalo [0,x] tal que: f(x) - f(0) = f'(c)(x-0) Substituindo f(x) e f(0) e f'(c), temos: ln(1+x) - ln(1+0) = 1/(1+c) * x Simplificando, temos: ln(1+x) = x/(1+c) Como c está no intervalo [0,x], temos que 1+c está no intervalo [1,1+x]. Assim, temos: 1 < 1+c < 1+x 1/(1+c) > 1/(1+x) Substituindo na equação anterior, temos: ln(1+x) < x Portanto, a desigualdade ln(1+x) < x é verdadeira para todo x > 0.