2. (a) Estude a continuidade, nos reais, da função f(x) =  ln(x+ 1), x ≥ 0 ln(1− x2), −1 < x < 0 1 1 + x2 , x ≤ −1. (b) Prove que f(x) = tgx...

(a) Para estudar a continuidade da função f(x), precisamos analisar a continuidade em cada ponto de sua definição. Para x ≥ 0, a função é contínua, pois a função logarítmica é contínua em seu domínio. Para −1 < x < 0, a função é contínua, pois a função logarítmica é contínua em seu domínio. Para x ≤ −1, a função é contínua, pois a função racional é contínua em seu domínio. Portanto, a função é contínua em todo o seu domínio, exceto em x = 0 e x = -1, onde há descontinuidade de salto. (b) Para provar que f(x) = tgx - cotgx - x tem uma única raiz no intervalo (0, π/2), podemos usar o Teorema de Bolzano. Primeiro, observe que f(0) = 0 e f(π/2) = -π/2 < 0. Agora, vamos mostrar que f(x) é crescente no intervalo (0, π/2). Para isso, podemos calcular a derivada de f(x): f'(x) = sec²x + csc²x - 1 Observe que f'(x) é sempre positiva no intervalo (0, π/2), pois sec²x e csc²x são sempre positivas e 1 é sempre menor que a soma das outras duas parcelas. Portanto, f(x) é crescente no intervalo (0, π/2). Como f(0) = 0 e f(π/2) < 0, pelo Teorema de Bolzano, f(x) tem uma única raiz no intervalo (0, π/2).