Determine a solução do problema de valor inicial. a) x′ = ( 1 −4 4 −7 ) x, x(0) = ( 3 2 ) b) x′ = ( 2 3/2 −3/2 −1 ) x, x(0) = ( 3 −2 ) a) x′ = ( ...

Para resolver o problema de valor inicial, precisamos encontrar a solução da equação diferencial e aplicar as condições iniciais. a) Para a matriz A = ( 1 −4 4 −7 ) , podemos encontrar os autovalores e autovetores: Os autovalores são λ1 = -2 e λ2 = -6. Os autovetores correspondentes são v1 = (2,1) e v2 = (4,1). Então, a solução geral da equação diferencial é x(t) = c1 * e^(-2t) * (2,1) + c2 * e^(-6t) * (4,1). Aplicando as condições iniciais, temos: x(0) = c1 * (2,1) + c2 * (4,1) = (3,2) Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = -1/2 e c2 = 2. Portanto, a solução do problema de valor inicial é x(t) = (-1/2 * e^(-2t) + 2 * e^(-6t), -1/2 * e^(-2t) + 2 * e^(-6t)). b) Para a matriz A = ( 2 3/2 −3/2 −1 ) , podemos encontrar os autovalores e autovetores: Os autovalores são λ1 = 1/2 - 3i/2 e λ2 = 1/2 + 3i/2. Os autovetores correspondentes são v1 = (1-i,2) e v2 = (1+i,2). Então, a solução geral da equação diferencial é x(t) = c1 * e^((1/2 - 3i/2)t) * (1-i,2) + c2 * e^((1/2 + 3i/2)t) * (1+i,2). Aplicando as condições iniciais, temos: x(0) = c1 * (1-i,2) + c2 * (1+i,2) = (3,-2) Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = -1/4 + 3i/8 e c2 = -1/4 - 3i/8. Portanto, a solução do problema de valor inicial é x(t) = ((-1/4 + 3i/8) * e^((1/2 - 3i/2)t) * (1-i) + (-1/4 - 3i/8) * e^((1/2 + 3i/2)t) * (1+i), (-1/2 + 3i/4) * e^((1/2 - 3i/2)t) + (-1/2 - 3i/4) * e^((1/2 + 3i/2)t)).