04 - (2014 - Petrobras – Administrador) Seja θ um arco do primeiro quadrante, tal que tg θ = 3. Sabendo-se que sec θ = 1/cos θ, desde que cos θ ≠ ...
Seja θ um arco do primeiro quadrante, tal que tg θ = 3. Sabendo-se que sec θ = 1/cos θ, desde que cos θ ≠ 0, quanto vale sec (2θ)?
a) ” 0,8
b) 1,25
c) 0,8
d) 1,25
e) √10
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💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver essa questão, vamos utilizar as seguintes identidades trigonométricas: - tg θ = sen θ / cos θ - sec θ = 1 / cos θ - sec 2θ = 1 / cos 2θ Sabemos que tg θ = 3, então podemos encontrar sen θ e cos θ utilizando o teorema de Pitágoras: - tg θ = sen θ / cos θ - 3 = sen θ / cos θ - sen θ = 3 cos θ Utilizando a identidade trigonométrica sec θ = 1 / cos θ, podemos encontrar o valor de cos θ: - sec θ = 1 / cos θ - cos θ = 1 / sec θ - cos θ = 1 / (1 / cos θ) - cos θ = cos θ Portanto, cos θ = 3 / √10 e sen θ = 3√10 / 10. Agora, podemos encontrar o valor de cos 2θ utilizando a identidade trigonométrica cos 2θ = cos² θ - sen² θ: - cos 2θ = cos² θ - sen² θ - cos 2θ = (3 / √10)² - (3√10 / 10)² - cos 2θ = 9/10 - 9/100 - cos 2θ = 81/100 Finalmente, podemos encontrar o valor de sec 2θ utilizando a identidade trigonométrica sec 2θ = 1 / cos 2θ: - sec 2θ = 1 / cos 2θ - sec 2θ = 1 / (81/100) - sec 2θ = 100/81 Portanto, a alternativa correta é a letra E) √10.
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