Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais?

Question

Ed · Answer

Para resolver a questão de quantos números naturais de 4 dígitos possuem pelo menos dois dígitos iguais, podemos usar o princípio da contagem.

1. **Total de números de 4 dígitos**: Os números de 4 dígitos vão de 1000 a 9999. Portanto, o total é:
   $$
   9999 - 1000 + 1 = 9000
   $$

2. **Números de 4 dígitos com todos os dígitos diferentes**:
   - O primeiro dígito (milhares) pode ser de 1 a 9 (9 opções).
   - O segundo dígito (centenas) pode ser de 0 a 9, exceto o primeiro dígito (9 opções).
   - O terceiro dígito (dezenas) pode ser de 0 a 9, exceto os dois primeiros dígitos (8 opções).
   - O quarto dígito (unidades) pode ser de 0 a 9, exceto os três primeiros dígitos (7 opções).

Portanto, o número de combinações com todos os dígitos diferentes é:
   $$
   9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536
   $$

3. **Números de 4 dígitos com pelo menos dois dígitos iguais**:
   Para encontrar esse número, subtraímos o total de números de 4 dígitos com todos os dígitos diferentes do total de números de 4 dígitos:
   $$
   9000 - 4536 = 4464
   $$

Portanto, o número de números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais é **4464**.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar o princípio da contagem.

Primeiro, vamos calcular quantos números de 4 dígitos existem no total. Podemos escolher o primeiro dígito de 1 a 9 (pois não pode ser zero) e os demais dígitos de 0 a 9. Assim, temos:

9 x 10 x 10 x 10 = 9.000

Agora, vamos calcular quantos desses números possuem pelo menos dois dígitos iguais. Podemos fazer isso de duas formas:

1) Contando os números que têm exatamente dois dígitos iguais: escolhemos primeiro os dois dígitos iguais (10 opções), depois escolhemos a posição desses dígitos (4 opções) e, por fim, escolhemos os outros dois dígitos (9 opções para cada um). Assim, temos:

10 x 4 x 9 x 9 = 3.240

2) Contando os números que têm pelo menos três dígitos iguais: escolhemos primeiro o dígito que se repete (10 opções), depois escolhemos as três posições desse dígito (4 opções) e, por fim, escolhemos o outro dígito (9 opções). Assim, temos:

10 x 4 x 9 = 360

Somando os resultados das duas formas, temos:

3.240 + 360 = 3.600

Portanto, existem 3.600 números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais.

Probabilidade e Estatísticas

Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais?

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