Considere uma lagoa que contem, inicialmente, 10 milhões de galões de agua fresca. A agua de um rio contendo um produto quimico indesejavel flui pa...

Para construir o modelo matemático desse fluxo, podemos utilizar a equação diferencial: dQ/dt = [y(t) - (Q/V)*k]*E Onde: - Q é a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante; - V é o volume da lagoa, que permanece constante em 10 milhões de galões; - k é a constante de proporcionalidade que relaciona a taxa de saída de produto químico da lagoa com a quantidade de produto químico na lagoa; - E é a taxa de entrada de produto químico na lagoa, que varia periodicamente com o tempo t; - y(t) é a concentração do produto químico na água que entra na lagoa, que varia periodicamente com o tempo t. Podemos substituir a expressão dada para y(t) na equação acima e obter: dQ/dt = [2 + sen(2t) - (Q/10)*k]*5 Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida analiticamente. Para isso, podemos utilizar o método da separação de variáveis: dQ/[2 + sen(2t) - (Q/10)*k] = 5 dt Integrando ambos os lados, temos: - ln|2 + sen(2t) - (Q/10)*k| = 5t + C Onde C é a constante de integração. Podemos isolar Q na equação acima e obter: Q(t) = 20 - 20e^(-kt/10) - 5sen(2t) + 5cos(2t) + Ce^(kt/10) Para determinar a constante C, podemos utilizar a condição inicial de que a lagoa contém inicialmente 0 galões de produto químico: Q(0) = 0 C = 20 - 20 - 5sen(0) + 5cos(0) C = 5 Portanto, a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante é dada por: Q(t) = 20 - 20e^(-kt/10) - 5sen(2t) + 5cos(2t) + 5e^(kt/10) O gráfico da solução pode ser desenhado utilizando um software de plotagem, como o MATLAB ou o Wolfram Mathematica. O efeito da variação na concentração da água que entra na lagoa é que a quantidade de produto químico na lagoa varia periodicamente com o tempo, seguindo a mesma periodicidade da concentração da água que entra. Além disso, a quantidade de produto químico na lagoa tende a um valor de equilíbrio de 20 galões, que é a quantidade de produto químico que entra na lagoa a longo prazo.