Nos Problemas de 38 a 40. suponha que p e q sao continuas e que as funceies y, e y2 säo solucOes da equac5o diferencial y" + p(t)y' + (1(0= 0 cm ur...

Para provar que se y1 e y2 se anulam em um mesmo ponto em I, então não podem ser linearmente independentes, podemos utilizar o teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais de primeira ordem. Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y' + p(t)y = q(t), então a solução geral é dada por y(t) = c1y1(t) + c2y2(t), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Se y1 e y2 se anulam em um mesmo ponto em I, então podemos escolher c1 e c2 de modo que y1 e y2 sejam linearmente dependentes, ou seja, existe uma combinação linear de y1 e y2 que é igual a zero. Assim, podemos escrever c1y1(t) + c2y2(t) = 0, para algum t em I. Como y1 e y2 são contínuas em I, então c1 e c2 não podem ser ambos iguais a zero, pois isso implicaria que y1 e y2 são ambas nulas em I, o que contradiz a hipótese de que y1 e y2 são linearmente independentes. Portanto, concluímos que se y1 e y2 se anulam em um mesmo ponto em I, então não podem ser linearmente independentes. A alternativa correta é a letra A.