Seja a equação diferencial 2 y ′′ − 4 y ′ + 2 y = 0 . Sabe-se que y = e x p ( x ) e y = x e x p ( x ) são soluções desta equação diferencial. ...

Podemos utilizar o método de superposição para encontrar uma solução geral da equação diferencial. Como as soluções dadas são linearmente independentes, podemos escrever a solução geral como uma combinação linear dessas soluções: y(x) = c1 * exp(x) + c2 * x * exp(x) Para encontrar uma solução específica, podemos substituir essa expressão na equação diferencial e verificar qual alternativa satisfaz a equação. Fazendo isso, obtemos: 2 * (c2 * exp(x) + c1 * exp(x)) - 4 * (c2 * exp(x) + c1 * exp(x)) + 2 * (c1 * exp(x) + c2 * x * exp(x)) = 0 Simplificando, temos: 2 * c2 * exp(x) + 2 * c1 * exp(x) - 4 * c2 * exp(x) - 4 * c1 * exp(x) + 2 * c1 * exp(x) + 2 * c2 * x * exp(x) = 0 Isolando os termos, temos: (2 * c2 - 4 * c2 + 2 * c2 * x) * exp(x) + (2 * c1 - 4 * c1 + 2 * c1) * exp(x) = 0 Simplificando novamente, temos: 2 * c2 * x * exp(x) = 0 Portanto, a única alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial é a alternativa (D), y(x) = c * exp(x), onde c é uma constante.