eja a equação diferencial 2 y ′′ − 4 y ′ + 2 y = 0 . Sabe-se que y = e x p ( x ) e y = x e x p ( x ) são soluções desta equação diferencial. D...

Para encontrar uma solução geral da equação diferencial 2y'' - 4y' + 2y = 0, podemos usar o método da equação característica. A equação característica é dada por: r^2 - 2r + 2 = 0 Resolvendo a equação, encontramos: r = (2 ± sqrt(2))/2 Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: y(x) = c1 * exp((2 + sqrt(2))/2 * x) + c2 * exp((2 - sqrt(2))/2 * x) Para verificar qual das alternativas apresenta uma solução da equação diferencial, basta substituir a função na equação e verificar se ela satisfaz a equação. Alternativa A: y(x) = exp(x) + exp(-x) y'(x) = exp(x) - exp(-x) y''(x) = exp(x) + exp(-x) Substituindo na equação diferencial: 2(exp(x) + exp(-x)) - 4(exp(x) - exp(-x)) + 2(exp(x) + exp(-x)) = 0 Simplificando: 6exp(x) - 2exp(-x) - 4exp(x) = 0 Não satisfaz a equação diferencial. Alternativa B: y(x) = exp(x) - exp(-x) y'(x) = exp(x) + exp(-x) y''(x) = exp(x) - exp(-x) Substituindo na equação diferencial: 2(exp(x) - exp(-x)) - 4(exp(x) + exp(-x)) + 2(exp(x) - exp(-x)) = 0 Simplificando: -2exp(x) + 2exp(-x) - 4exp(x) - 4exp(-x) + 2exp(x) - 2exp(-x) = 0 Não satisfaz a equação diferencial. Alternativa C: y(x) = exp(sqrt(2) * x) y'(x) = sqrt(2) * exp(sqrt(2) * x) y''(x) = 2 * exp(sqrt(2) * x) Substituindo na equação diferencial: 2(2 * exp(sqrt(2) * x)) - 4(sqrt(2) * exp(sqrt(2) * x)) + 2(exp(sqrt(2) * x)) = 0 Simplificando: 4exp(sqrt(2) * x) - 4sqrt(2)exp(sqrt(2) * x) + 2exp(sqrt(2) * x) = 0 Satisfaz a equação diferencial. Portanto, a alternativa correta é a letra C.