Seja a equação diferencial 2y′′−4y′+2y=02y″−4y′+2y=0. Sabe-se que y=exp(x)y=exp⁡(x) e y=xexp(x)y=xexp(x) são soluções desta equação diferencial. De...

Para encontrar a alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial, podemos utilizar o método de substituição. Substituindo as soluções dadas na equação diferencial, temos: Para y = exp(x): y = exp(x) y' = exp(x) y'' = exp(x) Substituindo na equação diferencial: 2y'' - 4y' + 2y = 0 2(exp(x)) - 4(exp(x)) + 2(exp(x)) = 0 0 = 0 Portanto, y = exp(x) é uma solução da equação diferencial. Para y = xexp(x): y = xexp(x) y' = exp(x) + xexp(x) y'' = 2exp(x) + xexp(x) Substituindo na equação diferencial: 2y'' - 4y' + 2y = 0 2(2exp(x) + xexp(x)) - 4(exp(x) + xexp(x)) + 2(xexp(x)) = 0 2exp(x) = 2exp(x) Portanto, y = xexp(x) também é uma solução da equação diferencial. Analisando as alternativas, podemos ver que apenas a alternativa (E) apresenta uma solução da equação diferencial, que é y = (2+x)exp(x).