uest˜ao 1 [3,5 pontos] Seja ABCD um paralelogramo de lados consecutivos AB e BC, tal que −→AB = (3, −6), −→AE ´e perpendicular a −−→DC e ||−→AE|| =...

(a) Para encontrar as coordenadas do ponto D, podemos usar a propriedade de que os lados opostos de um paralelogramo são iguais em módulo e direção. Portanto, podemos encontrar o vetor DC subtraindo o vetor AB de AE, já que AE é perpendicular a DC e tem módulo √5. Temos: −→DC = −→AE − −→AB = (2, 1) - (3, -6) = (-1, 7) Assim, as coordenadas do ponto D são obtidas somando o vetor DC ao vetor CB: −→CD = −(−→DC) = (1, -7) −→AD = −→AB + −→CD = (3, -6) + (1, -7) = (4, -13) D = A + −→AD = (2, 1) + (4, -13) = (6, -12) Portanto, as coordenadas do ponto D são (6, -12). (b) Para encontrar as coordenadas do ponto A, podemos usar a propriedade de que os lados opostos de um paralelogramo são iguais em módulo e direção. Portanto, podemos encontrar o vetor AB somando o vetor AD ao vetor DC, já que AD é paralelo a BC e tem a mesma direção e sentido. Temos: −→AD = 1/3 * −→DC = 1/3 * (-1, 7) = (-1/3, 7/3) −→AB = −→AD + −→DC = (-1/3, 7/3) + (-1, 7) = (-4/3, 22/3) Assim, as coordenadas do ponto A são obtidas somando o vetor AB ao vetor B: A = B + −→AB = (0, 0) + (-4/3, 22/3) = (-4/3, 22/3) Portanto, as coordenadas do ponto A são (-4/3, 22/3). (c) Para encontrar a área do paralelogramo ABCD, podemos usar a fórmula da área em termos dos vetores AB e BC: Área = ||−→AB × −→BC|| Temos: −→BC = −→AB + −→DC = (3, -6) + (-1, 7) = (2, 1) −→AB × −→BC = (3, -6, 0) × (2, 1, 0) = (0, 0, 9) ||−→AB × −→BC|| = 9 Portanto, a área do paralelogramo ABCD é 9.