Considere a função 6: ZZf  , tal que nnf )( .(2,5 Pontos) a) Demonstrar que f é um homomorfismo de anéis; b) Encontrar o núcleo de f.

a) Para demonstrar que f é um homomorfismo de anéis, precisamos mostrar que f preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para todo a, b em ZZ, temos que: f(a + b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a)f(b) Podemos verificar isso diretamente: f(a + b) = n^(a+b) = n^a * n^b = f(a) + f(b) f(ab) = n^(ab) = (n^a)^b = f(a)f(b) Portanto, f é um homomorfismo de anéis. b) O núcleo de f é o conjunto de todos os elementos de ZZ que são mapeados em 1 por f. Ou seja, é o conjunto: {a em ZZ | f(a) = 1} Podemos encontrar esse conjunto resolvendo a equação n^a = 1. Sabemos que n^0 = 1, então a solução é dada por: a = 0 + k*ord(n), onde k é um inteiro qualquer e ord(n) é a ordem de n em ZZ (o menor inteiro positivo k tal que n^k = 1). Portanto, o núcleo de f é o conjunto {k*ord(n) | k em ZZ}.