Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pi...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos calcular o número total de possibilidades de pintura, que é 4^5, já que temos 4 cores para cada uma das 5 casas. Agora, vamos calcular o número de possibilidades em que pelo menos duas casas consecutivas possuem a mesma cor. Podemos escolher uma das 4 cores para a primeira casa e, em seguida, escolher uma das 3 cores restantes para a segunda casa (já que não pode ser igual à primeira). Para as três casas restantes, temos novamente 4 opções de cores. Portanto, o número de possibilidades em que pelo menos duas casas consecutivas possuem a mesma cor é 4 x 3 x 4^3. No entanto, essa contagem inclui casos em que três casas consecutivas possuem a mesma cor duas vezes. Para corrigir isso, podemos escolher uma das 4 cores para a primeira casa, uma das 3 cores restantes para a segunda casa e, em seguida, escolher a mesma cor da segunda casa para a terceira casa. Para as duas casas restantes, temos novamente 4 opções de cores. Portanto, o número de possibilidades em que três casas consecutivas possuem a mesma cor é 4 x 3 x 4 x 4^2. No entanto, essa contagem inclui casos em que quatro casas consecutivas possuem a mesma cor três vezes. Para corrigir isso, podemos escolher uma das 4 cores para a primeira casa, uma das 3 cores restantes para a segunda casa, a mesma cor da segunda casa para a terceira casa e a mesma cor da terceira casa para a quarta casa. Para a última casa, temos novamente 4 opções de cores. Portanto, o número de possibilidades em que quatro casas consecutivas possuem a mesma cor é 4 x 3 x 4 x 4 x 4. Agora, podemos aplicar o PIE para obter o número de possibilidades em que nenhuma casa tem a mesma cor que a casa ao lado. O número de possibilidades é: 4^5 - 4 x 3 x 4^3 + 4 x 3 x 4 x 4^2 - 4 x 3 x 4 x 4 x 4 = 768 Portanto, o número de possibilidades diferentes de pintura é 768.