Determinada empresa produz baterias para automóveis. Um dos modelos de bateria possui formato que pode ser aproximado pelo sólido B, limitado super...

Determinada empresa produz baterias para automóveis. Um dos modelos de bateria possui formato que pode ser aproximado pelo sólido B, limitado superiormente pela superfície S de equação z = 1 − x2 − y2 e inferiormente pelo retângulo R = [−1,1] × [−0,5; 0,5] no plano xOy. A representação dos limites inferior e superior para o sólido B são apresentadas no seguinte gráfico. Tendo como objetivo otimizar a produção desse tipo de bateria, você foi contratado por essa empresa para auxiliar no estudo do projeto desse produto. Considerando estas informações, investigue os seguintes tópicos: AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias a) Associado à otimização do volume desse produto, em determinados momentos faz-se necessário determinar planos tangentes. Qual a equação do plano tangente à superfície S no ponto P(0,5; 0; 0,75)? b) Qual o volume aproximado do sólido B descrito anteriormente e que pode ser utilizado na aproximação do formato da bateria considerada? Gabarito: a) Para determinar a equação do plano tangente é necessário determinar, inicialmente, o vetor gradiente à superfície, que corresponde a um vetor normal à superfície e que, posteriormente, será o vetor normal ao plano. Para isso, considere f(x, y, z) = 1 − x2 − y2 − z logo, ∇f(x, y, z) = (−2x, −2y, −1) e assim, considerando o vetor gradiente no ponto P(0,5; 0; 0,75) segue que ∇f(0,5; 0; 0,75) = (−1, 0, −1) Para determinar a equação do plano tangente temos (−1)(x − 0,5) + 0(y − 0) + (−1)(z − 0,75) = 0 −x + 0,5 + 0 − z + 0,75 = 0 −x − z + 1,25 = 0 ou ainda, multiplicando a equação por -4, 4x + 4z − 5 = 0 Portanto, a equação do plano tangente à superfície no ponto P é dada por 4x + 4z − 5 = 0 b) Na determinação do volume do sólido B podemos empregar o cálculo de integrais triplas V = ∭ dV B Os limites de integração, no sólido considerado, são dados por −1 ≤ x ≤ 1; −0,5 ≤ y ≤ 0,5; 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2 Logo, o volume de B é dado por V = ∭ dV B = ∫ ∫ ∫ dz 1−x2−y2 0 dy 0,5 −0,5 dx 1 −1 = ∫ ∫ [z]0 1−x2−y2 dy 0,5 −0,5 dx 1 −1 = ∫ ∫ (1 − x2 − y2) 0,5 −0,5 dy 1 −1 dx = ∫ [y − x2y − 1/3y3] −0,5 0,5 1 −1 dx = ∫ (11/12 − x2) 1 −1 dx = [11/12x − 1/3x3] −1 1 = 7/6 ≈ 1,167. Portanto, o volume de B é, aproximadamente, de 1,167 u.v.
a) Qual a equação do plano tangente à superfície S no ponto P(0,5; 0; 0,75)?
b) Qual o volume aproximado do sólido B descrito anteriormente e que pode ser utilizado na aproximação do formato da bateria considerada?
Para determinar a equação do plano tangente é necessário determinar, inicialmente, o vetor gradiente à superfície, que corresponde a um vetor normal à superfície e que, posteriormente, será o vetor normal ao plano.
Na determinação do volume do sólido B podemos empregar o cálculo de integrais triplas.