Cálculo de Integrais Triplas em Engenharias

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Curso: 
Engenharias 
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 01 
Parte 1- Integrais múltiplas 
Prezado tutor(a), 
Nesta aula atividade o objetivo é aprofundar os estudos a respeito das integrais múltiplas por meio 
da resolução de problemas. Nesse sentido, será necessária a aplicação de conceitos estudados 
anteriormente, como as técnicas de derivação e integração, por exemplo. 
Bom trabalho! 
 
Questão 1 
Seja a superfície P definida pela equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 1 e cuja representação gráfica pode ser 
observada na figura seguinte: 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 𝑃 no ponto de coordenadas 𝐴(1,2, −4). 
Gabarito: 
Temos que P é a superfície definida por 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 1 ou 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 1. Para a 
determinação do plano tangente, é preciso identificar as componentes do vetor gradiente à 
superfície no ponto A. Temos que: 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥, 2𝑦, 1) → ∇𝑓(1, 2, −4) = (2, 4, 1) 
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Assim, a equação do plano com vetor normal ∇𝑓(1, 2, −4) = (2, 4, 1), contendo o ponto 𝐴(1, 2, −4) 
é dada por 
2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 2) + 1(𝑧 − (−4)) = 0 
2𝑥 − 2 + 4𝑦 − 8 + 𝑧 + 4 = 0 
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 
 
Questão 2 
Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis ordens de 
integração, quando possível. Nesse sentido, é necessário identificar se existem relações definidas 
entre os limites de integração. 
Diante desse tema, deseja-se calcular a integral tripla da função de três variáveis reais 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 − 3𝑦𝑧 
na região 𝑊 definida como segue: 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 | 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
Com base nesse tema, responda: 
a) Determine todas as possíveis ordens de integração que podem ser empregadas no cálculo da 
integral tripla de 𝑓 sobre a região 𝑊. 
b) Calcule a integral tripla da função 𝑓 sobre 𝑊 utilizando uma das integrais apresentadas no 
item a. 
c) Determine o volume da região 𝑊 a partir do cálculo de uma integral tripla. 
Gabarito: 
a) Observe que o limite de integração para 𝑥 depende da variável 𝑧 então precisamos, em qualquer 
possibilidade, considerar que o cálculo da integral relativa a 𝑥 seja realizado anteriormente ao cálculo 
da integral referente a 𝑧. Sendo assim, temos as seguintes possibilidades: 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑊
𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (4𝑥 − 3𝑦𝑧)
2
1
𝑑𝑦
𝑧
0
𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑧 = ∫ ∫ ∫ (4𝑥 − 3𝑦𝑧)
𝑧
0
𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑧
2
1
𝑑𝑦
= ∫ ∫ ∫ (4𝑥 − 3𝑦𝑧)
𝑧
0
𝑑𝑥
2
1
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑧 
b) Utilizando a última possibilidade apresentada, temos o cálculo da integral tripla como segue: 
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∫ ∫ ∫ (4𝑥 − 3𝑦𝑧)
𝑧
0
𝑑𝑥
2
1
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑧 = ∫ ∫ [
4𝑥2
2
− 3𝑥𝑦𝑧]
0
𝑧2
1
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑧 = ∫ ∫ (2𝑧2 − 3𝑦𝑧2)
2
1
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑧
= ∫ [2𝑦𝑧2 −
3
2
𝑦2𝑧2]
1
21
0
𝑑𝑧 = ∫ [(4𝑧2 − 6𝑧2) − (2𝑧2 −
3
2
𝑧2)]
1
0
𝑑𝑧 = −
5
2
∫ 𝑧2
1
0
𝑑𝑧
= −
5
2
[
𝑧3
3
]
0
1
= −
5
6
 
c) Para calcular o volume da região 𝑊 devemos calcular a integral tripla 𝑉(𝑊) = ∭ 𝑑𝑉
𝑊
. Nesse 
caso, podemos adotar, por exemplo, a seguinte ordem nos limites de integração: 
𝑉(𝑊) = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑦
2
1
𝑧
0
𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑧 = ∫ ∫ [𝑦]1
2
𝑧
0
𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑧 = ∫ ∫ 𝑑𝑥
𝑧
0
1
0
𝑑𝑧 = ∫ [𝑥]0
𝑧
1
0
𝑑𝑧 = ∫ 𝑧
1
0
𝑑𝑧 = [
𝑧2
2
]
0
1
=
1
2
= 0,5 u. v. 
 
Questão 3 
Considere o sólido S limitado pelo paraboloide elíptico dado pela equação 𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧 = 16 e pelos 
planos 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 e pelos três planos coordenados, cuja representação gráfica é apresentada na 
sequência: 
 
Empregando o cálculo de integrais triplas, qual é o volume do sólido S descrito anteriormente? 
 
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Gabarito: 
Temos que S é o sólido limitado superiormente pela superfície de equação 
𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧 = 16 ⟺ 𝑧 = 16 − 𝑥2 − 2𝑦2 
e inferiormente pelo quadrado 𝑅 = [0,2] × [0,2] no plano 𝑧 = 0 (plano 𝑥𝑂𝑦). A última informação 
pode ser obtida a partir do estudo da projeção do sólido 𝑆 sobre o plano 𝑥𝑂𝑦. 
Sendo assim, para a determinação do volume de S por integrais triplas devemos calcular 𝑉 = ∭ 𝑑𝑉
𝑆
 
cujos limites de integração são dados por: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 16 − 𝑥2 − 2𝑦2. 
Logo, o volume de S é dado por 
𝑉 = ∭𝑑𝑉
𝑆
= ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧
16−𝑥2−2𝑦2
0
𝑑𝑦
2
0
𝑑𝑥
2
0
= ∫ ∫[𝑧]0
16−𝑥2−2𝑦2
𝑑𝑦
2
0
𝑑𝑥
2
0
= ∫ ∫(16 − 𝑥2 − 2𝑦2)
2
0
𝑑𝑦
2
0
𝑑𝑥
= ∫ [16𝑦 − 𝑥2𝑦 −
2
3
𝑦3]
0
2
2
0
𝑑𝑥 = ∫ (
80
3
− 2𝑥2)
2
0
𝑑𝑥 = [
80
3
𝑥 −
2
3
𝑥3]
0
2
=
160
3
−
16
3
= 48 u. v. 
 
Questão 4 
Considere um sólido C em formato de cubo, definido por 
𝐶 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
e cuja representação gráfica é dada a seguir. 
 
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Sabendo que a função densidade que caracteriza o sólido C é dada por 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 
determine a coordenada �̅� do centro de massa do sólido C. 
Gabarito: 
Para determinar a coordenada �̅� o centro de massa precisamos determinar, inicialmente, a massa do 
sólido por meio de integrais triplas. Observe que os limites de integração são dados por: 
0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1; 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 
Assim, 
𝑚 = ∭𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐶
𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
1
0
𝑑𝑧
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = ∫ ∫ [𝑥2𝑧 + 𝑦2𝑧 +
1
3
𝑧3]
0
1
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥
= ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 +
1
3
)
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥2𝑦 +
1
3
𝑦3 +
1
3
𝑦]
0
1
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2 +
2
3
)
1
0
𝑑𝑥
= [
1
3
𝑥3 +
2
3
𝑥]
0
1
= 1 
O momento em relação ao plano coordenado 𝑦𝑧 é dado por: 
𝑀𝑦𝑧 = ∭𝑥 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐶
𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑥(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
1
0
𝑑𝑧
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥
= ∫ ∫ ∫(𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥𝑧2)
1
0
𝑑𝑧
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = ∫ ∫ [𝑥3𝑧 + 𝑥𝑦2𝑧 +
1
3
𝑥𝑧3]
0
1
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥
= ∫ ∫ (𝑥3 + 𝑥𝑦2 +
1
3
𝑥)
1
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥3𝑦 +
1
3
𝑥𝑦3 +
1
3
𝑥𝑦]
0
1
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥3 +
2
3
𝑥)
1
0
𝑑𝑥
= [
1
4
𝑥4 +
1
3
𝑥2]
0
1
=
1
4
+
1
3
=
7
12
 
Assim, a coordenada �̅� do centro de massa é calculada por 
�̅� =
𝑀𝑦𝑧
𝑚
=
7
12
1
=
7
12
 
 
 
 
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Questão 5 
Considere a superfície 𝑧 = 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 cuja representação gráfica é dada 
no que segue. 
 
Determine a área aproximada da superfície 𝑧 = 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro. 
Gabarito: 
Podemos parametrizar a superfície adotando 
𝑥 = 𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 𝑢𝑣 
Com base nessa parametrização, os seguintes vetores podem ser identificados 
𝒓𝑢 = (
𝜕𝑥
𝜕𝑢
,
𝜕𝑦
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝜕𝑢
) = (1,0, 𝑣) 
𝒓𝑣 = (
𝜕𝑥
𝜕𝑣
,
𝜕𝑦
𝜕𝑣
,
𝜕𝑧
𝜕𝑣
) = (0,1, 𝑢) 
de onde segue o produto vetorial: 
𝒓𝑢 × 𝒓𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 0 𝑣
0 1 𝑢
| = (−𝑣, −𝑢, 1) 
Logo, 
|𝒓𝑢 × 𝒓𝑣| = √(−𝑣)2 + (−𝑢)2 + 12 = √𝑢2 + 𝑣2 + 1 
Sendo assim, para determinar a área da superfície devemos calcular 
𝐴 = ∬ |𝒓𝑢 × 𝒓𝑣|
𝐷
𝑑𝐴 = ∬ √𝑢2 + 𝑣2 + 1
𝐷
𝑑𝐴 
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onde D é a projeção do cilindro sobre o plano 𝑥𝑂𝑦, ou seja, 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 } 
Em coordenadas polares teremos 
𝐷 = {(𝑟, 𝜃) ∈ ℝ2; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋} 
Além disso, sabendo que 𝑢 = 𝑟 cos(𝜃) e 𝑣 = 𝑟 sen(𝜃) segue que 
√𝑢2 + 𝑣2 + 1 = √(𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2 + 1 = √𝑟2 + 1 
Desta forma, 
𝐴 = ∬ √𝑢2 + 𝑣2 + 1
𝐷
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑟√𝑟2 + 1
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 = ∫ [
1
3
(𝑟2 + 1)
3
2 ]
0
12𝜋
0
𝑑𝜃 = (
2√2 − 1
3
) ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
= (
2√2 − 1
3
) 2𝜋 = (
4√2 − 2
3
) 𝜋 ≈ 3,83 u. a. 
 
Questão 6 
Determine a área da superfície que corresponde à parte do plano 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 6 = 0 que está 
acima do retângulo [1,4] × [2,6] localizado no plano 𝑥𝑦. 
Gabarito: 
Podemos parametrizara superfície adotando 
𝑥 = 𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 5𝑢 + 3𝑣 + 6 
Com base nessa parametrização, os seguintes vetores podem ser identificados 
𝒓𝑢 = (
𝜕𝑥
𝜕𝑢
,
𝜕𝑦
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝜕𝑢
) = (1,0,5) 
𝒓𝑣 = (
𝜕𝑥
𝜕𝑣
,
𝜕𝑦
𝜕𝑣
,
𝜕𝑧
𝜕𝑣
) = (0,1,3) 
de onde segue o produto vetorial: 
𝒓𝑢 × 𝒓𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 0 5
0 1 3
| = (0 − 5, 0 − 3, 1 − 0) = (−5, −3, 1) 
Logo, 
|𝒓𝑢 × 𝒓𝑣| = √(−5)2 + (−3)2 + 12 = √25 + 9 + 1 = √35 
Sendo assim, para determinar a área da superfície devemos calcular 
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𝐴 = ∬ |𝒓𝑢 × 𝒓𝑣|
𝐷
𝑑𝐴 = ∬ √35
𝐷
𝑑𝐴 
A região 𝐷 é tal que 𝑢 ∈ [1,4] e 𝑣 ∈ [2,6], isto é, 1 ≤ 𝑢 ≤ 4 e 2 ≤ 𝑣 ≤ 6. Logo, 
𝐴 = ∫ ∫ √35
6
2
𝑑𝑣
4
1
𝑑𝑢 = √35 ∫ ∫ 𝑑𝑣
6
2
4
1
𝑑𝑢 = √35 ∫ [𝑣]2
6
4
1
𝑑𝑢 = 4√35 ∫ 𝑑𝑢
4
1
= 4√35[𝑢]1
4 = 12√35
≈ 70,99 u. a. 
Questão 7 
Determinada empresa produz baterias para automóveis. Um dos modelos de bateria possui formato 
que pode ser aproximado pelo sólido B, limitado superiormente pela superfície S de equação 
z = 1 − x2 − y2 
e inferiormente pelo retângulo R = [−1,1] × [−0,5; 0,5] no plano xOy. A representação dos limites 
inferior e superior para o sólido B são apresentadas no seguinte gráfico 
 
Tendo como objetivo otimizar a produção desse tipo de bateria, você foi contratado por essa 
empresa para auxiliar no estudo do projeto desse produto. 
Considerando estas informações, investigue os seguintes tópicos: 
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a) Associado à otimização do volume desse produto, em determinados momentos faz-se necessário 
determinar planos tangentes. Qual a equação do plano tangente à superfície S no ponto P(0,5; 
0; 0,75)? 
b) Qual o volume aproximado do sólido B descrito anteriormente e que pode ser utilizado na 
aproximação do formato da bateria considerada? 
Gabarito: 
a) Para determinar a equação do plano tangente é necessário determinar, inicialmente, o vetor 
gradiente à superfície, que corresponde a um vetor normal à superfície e que, posteriormente, será 
o vetor normal ao plano. 
Para isso, considere 
f(x, y, z) = 1 − x2 − y2 − z 
logo, 
∇f(x, y, z) = (−2x, −2y, −1) 
e assim, considerando o vetor gradiente no ponto P(0,5; 0; 0,75) segue que 
∇f(0,5; 0; 0,75) = (−1, 0, −1) 
Para determinar a equação do plano tangente temos 
(−1)(x − 0,5) + 0(y − 0) + (−1)(z − 0,75) = 0 
−x + 0,5 + 0 − z + 0,75 = 0 
−x − z + 1,25 = 0 
ou ainda, multiplicando a equação por -4, 
4x + 4z − 5 = 0 
Portanto, a equação do plano tangente à superfície no ponto P é dada por 
4x + 4z − 5 = 0 
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b) Na determinação do volume do sólido B podemos empregar o cálculo de integrais triplas 
V = ∭ dV
B
 
Os limites de integração, no sólido considerado, são dados por 
−1 ≤ x ≤ 1; −0,5 ≤ y ≤ 0,5; 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2 
Logo, o volume de B é dado por 
V = ∭ dV
B
= ∫ ∫ ∫ dz
1−x2−y2
0
dy
0,5
−0,5
dx
1
−1
= ∫ ∫ [z]0
1−x2−y2
dy
0,5
−0,5
dx
1
−1
= ∫ ∫ (1 − x2 − y2)
0,5
−0,5
dy
1
−1
dx
= ∫ [y − x2y −
1
3
y3]
−0,5
0,5
1
−1
dx = ∫ (
11
12
− x2)
1
−1
dx = [
11
12
x −
1
3
x3]
−1
1
=
7
6
≈ 1,167 
Portanto, o volume de B é, aproximadamente, de 1,167 u.v. 
 
 
TABELA DE DERIVADAS 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐) = 0 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑎𝑥] = 𝑎𝑥 ln(𝑎) 
𝑑
𝑑𝑥
[ln(𝑥)] =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[sen(𝑥)] = cos(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[cos(𝑥)] = −sen(𝑥) 
 
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TABELA DE INTEGRAIS 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑢𝑛 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1 
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 
∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
ln(𝑎)
+ 𝐶 ∫ sen(𝑢) 𝑑𝑢 = − cos(𝑢) + 𝐶 
∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = sen(𝑢) + 𝐶 ∫ sec2(𝑢) 𝑑𝑢 = tg(𝑢) + 𝐶 
∫ 𝑢𝑒𝑢 𝑑𝑢 = (𝑢 − 1)𝑒𝑢 + 𝐶 ∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢 ln(𝑢) − 𝑢 + 𝐶 
 
Parte 2: Estudo teórico complementar 
Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o material do 
livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estuda-los. Como sugestão para 
favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas destacando as principais informações. 
Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a 
relacioná-las entre si. 
Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) biblioteca virtual 
e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. 
Integrais triplas 
Livro: Cálculo – volume 2 – 8ª edição. 
Autor: James Stewart 
Capítulo: 15 (seções 15.6) 
Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/2IQBxds 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 929-930): 
Exercício Solução 
3-22 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 15.6: 
https://bit.ly/2IRzNQX 
 
Livro: Cálculo – volume 2 – 10ª edição. 
https://bit.ly/2IQBxds
https://bit.ly/2IRzNQX
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
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Autor: Howard Anton 
Capítulo: 14 (seções 14.5) 
Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/2wixRye 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 1045-1046): 
Exercício Solução 
1-12 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 14.5: 
https://bit.ly/2WlNnnD 
 
Parte 3- Aulas de Revisão 
Você pode ter acesso à aulas de exercício de fixação de Cálculo Diferencial e Integral I, II e II. Para isso entre 
em seu ambiente e clicar na aba APOIO AO ESTUDO e em seguida Biblioteca digital: 
 
Ao clicar irá aparecer a seguinte tela: 
 
No campo busca digite: ESTUDOS CONTINUADOS EM MATEMÁTICA: AULAS DE FIXAÇÃO: CÁLCULO 
https://bit.ly/2wixRye
https://bit.ly/2WlNnnD
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Ao clicar em buscar irá aparecer uma lista de aulas de fixação que incluem: Cálculo Diferencial e Integral I, II e 
III. É só clicar na aula de exercícios que você quiser assistir!