Dados para a questão 1 no modo questionário: • a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z, sendo a ̸= 0 e a ̸= 3. • As opc...

Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z, sendo a ̸= 0 e a ̸= 3.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão terá 4 afirmações verdadeiras, que deverão ser detectadas pelo(a) estudante.

Questão 1 [2,0 pontos]: Sejam A = (a, a + 1) um ponto e r1 : ax − y = 2 uma reta do plano.
Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa.

(a) A ∈ r1

(b) As retas r1 e r2 :
{

x = t
y = 3t + 1 , t ∈ R são concorrentes.

(c) As retas r1 e r3 : ax − y = 4 são paralelas.

(d) r1 :
{

x = 1 + 2t
y = (a − 2) + 2at

, t ∈ R são equações paramétricas de r1.

Cada item terá pontuação 0,5.

Resolução:

(a) Primeiramente, ao substituir as coordenadas do ponto A na equação de r1, notemos que

a(a) − (a + 1) = 2 ⇐⇒ a2 − a − 3 = 0 ⇐⇒ a = 1 ± √13/2 /∈ Z.

Como a é um número inteiro (coringa da questão), não teremos nenhum valor de a que faça com que o ponto A pertença à r. Sendo assim, a afirmação (a) é falsa.

(b) A partir da equação cartesiana da reta r1, observamos que o vetor (a, −1) é perpendicular à reta r1, então v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r1. Já pelas equações paramétricas da reta r2, obtemos que v⃗2 = (1, 3) é um vetor paralelo à reta r2. Como v⃗1 e v⃗2 não são múltiplos (lembrando que a não pode assumir o valor 3), as retas r1 e r2 não podem ser paralelas nem coincidentes. Sendo assim, elas são concorrentes. Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.

(c) Pela equação cartesiana de r3, notamos que v⃗3 = (a, −1) é perpendicular à reta r3. Logo, o vetor v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r3. Sendo assim, as retas r1 e r3 são paralelas ou coincidentes. Analisando as equações das retas, vemos que o lado esquerdo das equações das duas retas são iguais, porém o termo independente das equações são distintos (2 ̸= 4). Isto implica que, r1 e r3 não podem ser coincidentes e são paralelas.

(d) Já sabemos que v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r1, sendo assim 2v⃗1 também é paralelo à reta r1 que é o vetor utilizado para escrever as equações paramétricas da reta r1. Pelas equações dadas no item (d) do enunciado, o ponto P = (1, a − 2) deveria pertencer à reta r1. Vamos analisar se suas coordenadas de P satisfazem a equação dada no enunciado:

a(1) − (a − 2) = 2 ⇐⇒ a − a + 2 = 2 ⇐⇒ 2 = 2.

Portanto, P ∈ r1 e as equações paramétricas fornecidas neste item estão corretas. Sendo assim, a afirmação (d) é verdadeira.

RESPOSTA CORRETA: As afirmações (b), (c) e (d) são verdadeiras e a opção (a) é falsa.

As afirmações (b), (c) e (d) são verdadeiras e a opção (a) é falsa.