Dados para a questão 2 no modo questionário: • k é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma k ∈ [−4, 4] ∩ Z e k ̸= 0. • As opço...

Dados para a questão 2 no modo questionário:
• k é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma k ∈ [−4, 4] ∩ Z e k ̸= 0.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.

Questão 2 [2,0 pontos]: Considere a cônica

C : 9x2 + 4y2 − 36kx + 16ky + 52k2 − 36 = 0.

Dentre as opções abaixo, quais delas possui a classificação e parametrização corretas da cônica C. Lembrando que, as duas informações pedidas precisam estar corretas para que a resposta seja considerada correta.

(a) C é uma elipse com parametrização C :
{

x = 2k + 2 cos t
y = −2k + 3 sin t

, t ∈ R

(b) C é uma elipse com parametrização C :
{

x = −2k + 3 cos t
y = 2k + 2 sin t

, t ∈ R

(c) C é uma hiperbóle com parametrização C :
{

x = 2k + 2 cosh t
y = −2k + 3 sinh t

, t ∈ R

(d) C é uma hiperbóle com parametrização C :
{

x = −2k + 3 cosh t
y = 2k + 2 sinh t

, t ∈ R

(e) C é uma parábola com parametrização C :
{

x = t
y = −2k ± √t − 2k

, t ∈ R

(f) C é uma parábola com parametrização C :
{

x = 2k ± √t + 2k
y = t

, t ∈ R

Resolução:

Completando os quadrados da equação dada, obtemos:

9x2 + 4y2 − 36kx + 16ky + 52k2 − 36 = 0
⇐⇒ 9(x2 − 4kx + 4k2) + 4(y2 + 4ky + 4k2) = 36 − 52k2 + 36k2 + 16k2
⇐⇒ 9(x − 2k)2 + 4(y + 2k)2 = 36
⇐⇒ (x − 2k)24 + (y + 2k)29 = 1

Logo, C representa uma elipse com:

• a = 3, b = 2 e c = √a2 − b2 = √32 − 22 = √5;

• centro: C = (2k, −2k);

• reta focal: x = 2k;

• vértices: (2k, −2k ± 3);

• focos: (2k, −2k ± √5);

• reta não-focal: y = −2k;

• vértices imaginários: (2k ± 2, −2k);

• parametrização: C :
{

x = 2k + 2 cos t
y = −2k + 3 sin t

, t ∈ R.

RESPOSTA CORRETA: (a)

(a) C é uma elipse com parametrização C : { x = 2k + 2 cos t y = −2k + 3 sin t , t ∈ R
(a) C é uma elipse com parametrização C : { x = 2k + 2 cos t y = −2k + 3 sin t , t ∈ R
(b) C é uma elipse com parametrização C : { x = −2k + 3 cos t y = 2k + 2 sin t , t ∈ R
(c) C é uma hiperbóle com parametrização C : { x = 2k + 2 cosh t y = −2k + 3 sinh t , t ∈ R
(d) C é uma hiperbóle com parametrização C : { x = −2k + 3 cosh t y = 2k + 2 sinh t , t ∈ R
(e) C é uma parábola com parametrização C : { x = t y = −2k ± √t − 2k , t ∈ R
(f) C é uma parábola com parametrização C : { x = 2k ± √t + 2k y = t , t ∈ R