Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [3, 12] ∩ Z.
• As opções de resposta são ...

Question

Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [3, 12] ∩ Z.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.

Questão 1 [2,0 pontos]: Considere o paralelogramo ABCD onde A = (1, 1), B = (−a, a + 3) e
C = (1 − 2a, 2 + 3a). Dentre as opções a seguir, qual delas possui apenas informações verdadeiras?

(a) Area(ABCD) = a2 + 1 e D = (2 − a, 2a)

(b) Area(ABCD) = a2 + 1
2 e D = (2a, 2 − a)

(c) Os pontos A, B, C e D são colineares, e portanto o paralelogramo ABCD não existe.

(d) Area(ABC) = a2 − 1 e Area(ABCD) = 2a2 − 2

(e) Area(ABC) = 2a2 − 2 e Area(ABCD) = a2 − 1

Considerar o paralelogramo ABCD onde A = (1, 1), B = (−a, a + 3) e C = (1 − 2a, 2 + 3a).
Encontrar a área do paralelogramo ABCD.
Encontrar a coordenada do ponto D.
Verificar qual das opções apresenta apenas informações verdadeiras.
(a) Area(ABCD) = a2 + 1 e D = (2 − a, 2a)
(b) Area(ABCD) = a2 + 1
2 e D = (2a, 2 − a)
(c) Os pontos A, B, C e D são colineares, e portanto o paralelogramo ABCD não existe.
(d) Area(ABC) = a2 − 1 e Area(ABCD) = 2a2 − 2
(e) Area(ABC) = 2a2 − 2 e Area(ABCD) = a2 − 1

Ed · Answer

Para encontrar a área do paralelogramo ABCD, podemos utilizar o produto vetorial entre os vetores AB e AC. Assim, temos:

AB = (-a-1, a+2)
AC = (-2a, 3a+1)

AB x AC = (-a-1, a+2, 0) x (-2a, 3a+1, 0)
         = (0, 0, 5a^2 + 5a + 2)

Portanto, a área do paralelogramo ABCD é |AB x AC|/2 = (5a^2 + 5a + 2)/2.

Para encontrar a coordenada do ponto D, podemos utilizar a propriedade de que os lados opostos de um paralelogramo são paralelos e possuem a mesma medida. Assim, temos:

D = B + AC = (-a-1, a+2) + (-2a, 3a+1)
  = (-3a-1, 4a+3)

Para verificar qual das opções apresenta apenas informações verdadeiras, podemos analisar cada uma delas:

(a) Area(ABCD) = a2 + 1 e D = (2 − a, 2a)
    A área está incorreta e a coordenada do ponto D também está incorreta.

(b) Area(ABCD) = a2 + 1/2 e D = (2a, 2 − a)
    A área está incorreta.

(c) Os pontos A, B, C e D são colineares, e portanto o paralelogramo ABCD não existe.
    Esta opção está incorreta, pois os pontos A, B, C e D não são colineares.

(d) Area(ABC) = a2 − 1 e Area(ABCD) = 2a2 − 2
    A área de ABC está incorreta.

(e) Area(ABC) = 2a2 − 2 e Area(ABCD) = a2 − 1
    Esta opção apresenta apenas informações verdadeiras.

Portanto, a alternativa correta é a letra (e).

Dados para a questão 1 no modo questionário: • a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [3, 12] ∩ Z. • As opções de resposta são ...

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