APX3_2022_1_GA_Mat_Gabarito

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ESTÁCIO

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Joao Pedro Neves Guerreiro

20/02/2024

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Geometria Analítica

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 - Questões no formato questionário – Geometria Anaĺıtica - 2022-1
Gabarito
Código da disciplina: Matemática EAD 01087
Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z, sendo a ̸= 0 e a ̸= 3.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão terá 4 afirmações verdadeiras, que deverão ser detectadas pelo(a) estudante.
Questão 1 [2,0 pontos]: Sejam A = (a, a + 1) um ponto e r1 : ax − y = 2 uma reta do plano.
Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa.
(a) A ∈ r1
(b) As retas r1 e r2 :
{
x = t
y = 3t + 1 , t ∈ R são concorrentes.
(c) As retas r1 e r3 : ax − y = 4 são paralelas.
(d) r1 :
{
x = 1 + 2t
y = (a − 2) + 2at , t ∈ R são equações paramétricas de r1.
Cada item terá pontuação 0,5.
Resolução:
(a) Primeiramente, ao substituir as coordenadas do ponto A na equação de r1, notemos que
a(a) − (a + 1) = 2 ⇐⇒ a2 − a − 3 = 0 ⇐⇒ a = 1 ±
√
13
2 /∈ Z.
Como a é um número inteiro (coringa da questão), não teremos nenhum valor de a que faça com
que o ponto A pertença à r. Sendo assim, a afirmação (a) é falsa.
(b) A partir da equação cartesiana da reta r1, observamos que o vetor (a, −1) é perpendicular à
reta r1, então v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r1. Já pelas equações paramétricas da reta r2,
obtemos que v⃗2 = (1, 3) é um vetor paralelo à reta r2. Como v⃗1 e v⃗2 não são múltiplos (lembrando
que a não pode assumir o valor 3), as retas r1 e r2 não podem ser paralelas nem coincidentes. Sendo
assim, elas são concorrentes. Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.
(c) Pela equação cartesiana de r3, notamos que v⃗3 = (a, −1) é perpendicular à reta r3. Logo, o vetor
v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r3. Sendo assim, as retas r1 e r3 são paralelas ou coincidentes.
Analisando as equações das retas, vemos que o lado esquerdo das equações das duas retas são iguais,
porém o termo independente das equações são distintos (2 ̸= 4). Isto implica que, r1 e r3 não podem
ser coincidentes e são paralelas.
Geometria Anaĺıtica AP3 1/2022
Sendo assim, a afirmação (c) é verdadeira.
(d) Já sabemos que v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r1, sendo assim 2v⃗1 também é paralelo à
reta r1 que é o vetor utilizado para escrever as equações paramétricas da reta r1.
Pelas equações dadas no item (d) do enunciado, o ponto P = (1, a − 2) deveria pertencer à reta r1.
Vamos analisar se suas coordenadas de P satisfazem a equação dada no enunciado:
a(1) − (a − 2) = 2 ⇐⇒ a − a + 2 = 2 ⇐⇒ 2 = 2.
Portanto, P ∈ r1 e as equações paramétricas fornecidas neste item estão corretas.
Sendo assim, a afirmação (d) é verdadeira.
RESPOSTA CORRETA: As afirmações (b), (c) e (d) são verdadeiras e a opção (a) é falsa.
Dados para a questão 2 no modo questionário:
• k é o coringa e poderá variar da seguinte forma k ∈ [−4, 4] ∩ Z e k ̸= 0.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 2 [2,0 pontos]: Considere a cônica
C : 9x2 + 4y2 − 36kx + 16ky + 52k2 − 36 = 0.
Dentre as opções abaixo, quais delas possui a classificação e parametrização corretas da cônica
C. Lembrando que, as duas informações pedidas precisam estar corretas para que a resposta seja
considerada correta.
(a) C é uma elipse com parametrização C :
{
x = 2k + 2 cos t
y = −2k + 3 sin t , t ∈ R
(b) C é uma elipse com parametrização C :
{
x = −2k + 3 cos t
y = 2k + 2 sin t , t ∈ R
(c) C é uma hiperbóle com parametrização C :
{
x = 2k + 2 cosh t
y = −2k + 3 sinh t , t ∈ R
(d) C é uma hiperbóle com parametrização C :
{
x = −2k + 3 cosh t
y = 2k + 2 sinh t , t ∈ R
(e) C é uma parábola com parametrização C :
{
x = t
y = −2k ±
√
t − 2k , t ∈ R
(f) C é uma parábola com parametrização C :
{
x = 2k ±
√
t + 2k
y = t , t ∈ R
Resolução:
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Geometria Anaĺıtica AP3 1/2022
Completando os quadrados da equação dada, obtemos:
9x2 + 4y2 − 36kx + 16ky + 52k2 − 36 = 0
⇐⇒ 9(x2 − 4kx + 4k2) + 4(y2 + 4ky + 4k2) = 36 − 52k2 + 36k2 + 16k2
⇐⇒ 9(x − 2k)2 + 4(y + 2k)2 = 36
⇐⇒ (x − 2k)
2
4 +
(y + 2k)2
9 = 1
Logo, C representa uma elipse com:
• a = 3, b = 2 e c =
√
a2 − b2 =
√
32 − 22 =
√
5;
• centro: C = (2k, −2k);
• reta focal: x = 2k;
• vértices: (2k, −2k ± 3);
• focos: (2k, −2k ±
√
5);
• reta não-focal: y = −2k;
• vértices imaginários: (2k ± 2, −2k);
• parametrização: C :
{
x = 2k + 2 cos t
y = −2k + 3 sin t , t ∈ R.
RESPOSTA CORRETA: (a)
Dados para a questão 3 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z, sendo a ̸= 0 e a ̸= 3.
• A questão terá ter um campo onde o estudante colocará sua resposta final e não serão oferecidas
opções de resposta.
Questão 3 [2,0 pontos]: Considere o triângulo ABC, cujos vértices são dados por A = (1, 0), B =
(a, a) e C é o ponto de interseção entre as retas r1 :
{
x = t
y = 3t + a , t ∈ R e r2 :
{
x = −t
y = 3t − 5a , t ∈
R. Calcule a área do triângulo ABC.
Resolução:
Primeiramente, notemos que, r1 é paralela ao vetor
−→v1 = (1, 3) e contém o ponto P1 = (0, a). Sendo
assim, o vetor (3, −1) é perpendicular à reta r1 e esta reta possui a seguinte forma:
3x − y = k,
para algum k real. Como P1 ∈ r1, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de k:
3(0) − a = k ⇐⇒ k = −a.
Portanto, a equação cartesiana da reta r1 é 3x − y = −a.
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Agora, note que r2 é paralela ao vetor
−→v2 = (−1, 3) e contém o ponto P2 = (0, −5a). Sendo assim,
o vetor (3, 1) é perpendicular à reta r2 e esta reta possui a seguinte forma:
3x + y = c,
para algum c real. Como P2 ∈ r2, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de c:
3(0) − 5a = c ⇐⇒ c = −5a.
Portanto, a equação cartesiana da reta r2 é 3x + y = −5a.
Com as equações cartesianas das retas r1 e r2, para encontrar o ponto C de interseção entre elas,
é necessário resolver o sistema formado pelas duas equações. Resolvendo este sistema, encontramos
que C = (−a, −2a).
OBS.: O ponto C poderia ter sido encontrado igualando as equações de x e y de r1 e r2 diretamente,
sem encontrar as equações cartesianas das retas.
Sendo assim, podemos agora calcular a área do triângulo ABC. Como
−→
AB = (a − 1, a) e −→AC = (−a − 1, −2a),
temos:
Area(ABC) = 12 | − 2a(a − 1) + (−a)(−a − 1)|
= 12 | − 2a
2 + 2a + a2 + a|
= 12 | − a
2 + 3a|.
RESPOSTA CORRETA: 12 | − a
2 + 3a|
Dados para a questão 4 no modo questionário:
• a é o coringa a ∈ [1, 5] ∩ Z
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 4 [2,0 pontos] Considere o plano π, que contém os pontos A = (a, a, 2), B = (3, 2, 2) e
C = (4, 4, 3), e a reta
r : x − a2 =
y − 1
4 =
z − 2
2 .
Marque dentre as opções abaixo, qual delas apresenta corretamente a equação cartesiana de π e a
distância entre π e r. Lembrando que, as duas informações pedidas precisam estar corretas para que
a resposta seja considerada correta.
Opções de resposta:
(a) π : (a − 2)x + (3 − a)y + (a − 4)z = 3a − 8 e d(r, π) = 0
(b) π : (a − 2)x + (3 − a)y + (a − 4)z = 3a − 8 e d(r, π) = |a
2−4a+3|√
3a2−18a+29
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Geometria Anaĺıtica AP3 1/2022
(c) π : (a − 2)x + (a − 3)y + (a − 4)z = −3a + 20 e d(r, π) = |a
2+a|√
3a2−18a+29
(d) π : (a + 2)x + (a)y + (a + 4)z = 5a + 2 e d(r, π) = |a
2+2a+3|√
a2+8a−2
(e) π : (a − 2)x + (a − 3)y + (a)z = 5a − 20 e d(r, π) = |a2+5a−20|√
a2+a+20
Resolução:
Como −→
BA = (a − 3, a − 2, 0) e −−→BC = (1, 2, 1),
temos:
N⃗ = −→BA × −−→BC = (a − 2, 3 − a, a − 4),
é um vetor normal ao plano π. Sendo assim, π possui a seguinte forma:
(a − 2)x + (3 − a)y + (a − 4)z = k,
para alguma k real. Como B ∈ π, então
(a − 2)3 + (3 − a)2 + (a − 4)2 = k ⇐⇒ k = 3a − 8.
Logo, a equação cartesiana do plano π é (a − 2)x + (3 − a)y + (a − 4)z = 3a − 8.
Note que v⃗ = (2, 4, 2) é um vetor paralelo à reta r. E ainda que, v⃗ ⊥ N⃗ , pois < v⃗, N⃗ >= 0.
Logo, a reta r é paralela ao plano π ou a reta r está contida no plano π. Considere então o ponto
P = (a, 1, 2) pertencente à reta r. Vamos utilizar esse ponto para definirmos se r é paralela ou não
ao plano π.
• Se a = 1 ou a = 3, então o ponto P = (a, 1, 2) satisfaz a equação de π. Sendo assim, temos que
v⃗ ⊥ N⃗ , P ∈ r e P ∈ π. Logo, se π contém um ponto de r, a reta r está contida em π e
d(r, π) = 0.
Neste caso, a resposta é (a).
• Se a ̸= 1 e a ̸= 3, então o ponto P = (a, 1, 2) não satisfaz a equação de π. Logo, P ∈ r e P /∈ π.
Sendo assim, podemos concluir que r é paralela ao plano π e que d(r, π) = d(P, π). Assim,
d(r, π) = |(a − 2)a + (3 − a)1 + (a − 4)2 − 3a + 8|√
(a − 2)2 + (3 − a)2 + (a − 4)2
= |a
2 − 2a + 3 − a + 2a − 8 − 3a + 8|√
3a2 − 18a + 29
= |a
2 − 4a + 3|√
3a2 − 18a + 29
.
Neste caso, a resposta é (b).
RESPOSTA CORRETA: Se a = 1 ou a = 3, a resposta é (a). Do contrário, a resposta é (b).
Dados para a questão 5 no modo questionário:
• a é o coringa tal que a ∈ [−5, 5] ∩ Z.
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• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 5 [2,0 pontos]: Considere a superf́ıcie quádrica
Q : 7x2 − 9ay2 + z2 = 7.
Encontre dentre as opções a seguir, aquela que contém a classificação correta de Q e a interseção
com o plano y = 1. Lembrando que, as duas informações pedidas precisam estar corretas para que
a resposta seja considerada correta.
Opções de resposta:
(a) Q é um hiperboloide de uma folha e Q ∩ {y = 1} representa uma elipse contida no plano
y = 1.
(b) Q é um elipsoide e Q ∩ {y = 1} representa o conjunto vazio.
(c) Q é um cilindro e Q ∩ {y = 1} representa uma elipse contida no plano y = 1.
(d) Q é um hiperboloide de duas folhas e Q ∩ {y = 1} representa uma parábola contida no plano
y = 1.
(e) Q é um paraboloide eĺıptico e Q ∩ {y = 1} representa o ponto (0, 1, 0).
(f) Q é um hiperboloide de uma folha e Q ∩ {y = 1} representa uma hipérbole contida no plano
y = 1.
(g) Q é um elipsoide e Q ∩ {y = 1} representa uma elipse contida no plano y = 1.
(h) Q é um hiperboloide de duas folhas e Q ∩ {y = 1} representa uma elipse contida no plano
y = 1.
(i) Q é um cilindro e Q ∩ {y = 1} representa o conjunto vazio.
Resolução:
Para a > 0, temos:
• Q é um hiperboloide de uma folha.
• Q ∩ {y = 1} :
{
7x2 + z2 = 7 + 9a
y = 1 representa uma elipse contida no plano y = 1.
Para a < 0, temos:
• Q é um elipsoide.
• Q ∩ {y = 1} :
{
7x2 + z2 = 7 + 9a
y = 1 representa o conjunto vazio já que 7 + 9a < 0.
Para a = 0, temos:
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• Q é um cilindro.
• Q ∩ {y = 1} :
{
7x2 + z2 = 7
y = 1 representa uma elipse contida no plano y = 1.
RESPOSTA CORRETA: se a > 0: (a); se a < 0: (b); se A = 0: (c).
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