Questão 2 [1,5 ponto] Considere as funções ????(????) = 8 − 2|???? − 4| e ????(????) = 2/5(????2 − 6???? + 10), ???? ∈ ℝ. Q2(a) Se possível, obtenha as coordenadas...

Q2(a) Para encontrar as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de ???? = ????(????) com o eixo ???? e com o eixo ????, basta igualar a função a zero e resolver para ????: - Para o eixo ???? (ou eixo das ordenadas), temos: 8 - 2|???? - 4| = 0 8 = 2|???? - 4| 4 = |???? - 4| ???? - 4 = 4 ou ???? - 4 = -4 ???? = 8 ou ???? = 0 Logo, as coordenadas dos pontos de interseção com o eixo ???? são (0, 8) e (8, 0). - Para o eixo ???? (ou eixo das abscissas), temos: 2/5(????2 - 6???? + 10) = 0 ????2 - 6???? + 10 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos que não há raízes reais. Para esboçar o gráfico da função ???? = ????(????), podemos usar a definição de módulo: - Quando ???? >= 4, temos: ???? = 8 - 2(???? - 4) = -2???? + 16 - Quando ???? < 4, temos: ???? = 8 - 2(4 - ???? ) = 2???? Assim, o gráfico da função é uma reta com inclinação negativa (-2) para ???? >= 4 e uma reta com inclinação positiva (2) para ???? < 4. Os pontos de interseção com os eixos coordenados são (0, 8) e (8, 0). Q2(b) Para determinar o vértice da parábola, podemos usar a fórmula ???? = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função quadrática ???? = 2/5(????2 - 6???? + 10). Temos: a = 2/5 b = -6/5 ???? = -b/2a = -(-6/5)/(2/5) = 3 Substituindo ???? = 3 na função, encontramos que o valor mínimo é ???? = 2/5(3^2 - 6*3 + 10) = 1. Logo, o vértice da parábola é (3, 1). Para encontrar as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados, basta igualar a função a zero e resolver para ????: - Para o eixo ???? (ou eixo das ordenadas), temos: 2/5(????2 - 6???? + 10) = 0 ????2 - 6???? + 10 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos que não há raízes reais. - Para o eixo ???? (ou eixo das abscissas), temos: ???? = 0 ou ????2 - 6???? + 10 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos que as raízes são ???? = 3 + i e ???? = 3 - i. O gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima, passando pelo ponto (0, 10) e pelos pontos de interseção com os eixos coordenados (3 + i, 0) e (3 - i, 0). Q2(c) Para esboçar o gráfico de ???? = ????(????) e o gráfico de ????(????) no mesmo par de eixos coordenados, podemos usar as informações obtidas nas questões anteriores. O gráfico de ???? = ????(????) é uma reta com inclinação negativa (-2) para ???? >= 4 e uma reta com inclinação positiva (2) para ???? < 4. O gráfico de ????(????) é uma parábola com concavidade para cima, passando pelo ponto (0, 10) e pelos pontos de interseção com os eixos coordenados (3 + i, 0) e (3 - i, 0). Os pontos de interseção dos dois gráficos são obtidos igualando as duas funções e resolvendo para ????: 8 - 2|???? - 4| = 2/5(????2 - 6???? + 10) Multiplicando tudo por 5, temos: 40 - 10|???? - 4| = 2(????2 - 6???? + 10) 40 - 10|???? - 4| = 2????2 - 12???? + 20 2????2 - 10|???? - 4| - 12???? + 20 = 0 Para ???? >= 4, temos: 2????2 - 10(???? - 4) - 12???? + 20 = 0 2????2 - 22???? + 60 = 0 ????1 = 5 + √5 e ????2 = 5 - √5 Para ???? < 4, temos: 2????2 + 10(???? - 4) - 12???? + 20 = 0 2????2 - 2???? - 12 = 0 ????1 = 2 + √7 e ????2 = 2 - √7 Assim, os pontos de interseção dos dois gráficos são (2 + √7, 2) e (5 + √5, 0). Q2(d) Observando os gráficos do item anterior, podemos ver que a solução da inequação ????(????) ≥ ????(????) é o intervalo [2 + √7, 5 + √5].