Cap 24 - Potencial Eletrico - aluno

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1
Potencial elétrico | 1
Prof. Wladimir S. Braga
wladimirbraga@utfpr.edu.br
Cap. 24Cap. 24
Potencial ElétricoPotencial Elétrico
Carga elétrica| 2
Energia Potencial Elétrica (U)
Analogia:
•Potencial Gravitacional:
 
f
i
if mghhdgmWUUU

•Potencial Elétrica:
 
f
i
if EdqldEqWUUU 00

gmF 

Onde: 
EqF

0Onde: 
Como as forças são conservativas, o resultado só depende 
da posição inicial i e final f. 
Carga elétrica| 3
Energia Potencial Elétrica (U)
Distribuição finita de cargas:
Configuração de referência onde
Tal que:
ir

0iU
Podemos definir a função energia 
potencial elétrica:
 
f
i
sdEqU 

0
 mNJSIUnidade .)( 
0q
U é o negativo do trabalho realizado pela
força do campo elétrico sobre uma partícula com
carga para trazê-la desde o infinito até .fr

ir

Carga elétrica| 4
Energia Potencial Elétrica (U)
Exemplo 1
?U
CNE /150
md 520
)102,1( 14 JxU 
2
Carga elétrica| 5
Potencial Elétrico (V)
É a energia potencial por unidade de
carga em um ponto do espaço.
)(
0
escalargrandeza
q
UV 
Diferença de Potencial (ddp):
0q
WVVV if 




 
m
V
C
JSIUnidade )(
Para sistemas de dimensões atômicas a unidade é o elétron-volt:
JxCJCxVeeV 1919 106,1)/1)(106,1()1(1  
0)(0  ii VUSe
Leis de Newton | 6
Potencial Elétrico (V)
Potencial em função do Campo Elétrico:
 
f
i
if sdEVVV

Escolhendo o infinito como referência
ou
0)( qVVW if 
sdEqsdFdW 
  0
 
f
i
sdEqdWW 

0
 
f
i
if sdEqqVV

00)(



r
sdrErV 
 )()(
Leis de Newton | 7
Potencial Elétrico (V)
V para um Campo Elétrico Uniforme:
 
f
i
if sdEVV

Exemplo 2
a) 10cos)(0  fi
 
f
i
f
i
if EdEdssdEVV cos

b) 090cos90)(  ooci 
 
c
i
o
c
i
ic EdssdEVV 090cos

2/245cos45)(  oofc 
 
f
c
o
f
c
cf Ed
dE
sen
dEEdssdEVV
2
22
2
452
245cos 0

A diferença de potencial só depende dos pontos i e f e não do caminho.
Leis de Newton | 8
Superfícies Equipotenciais
São superfícies em que todos os pontos possuem o mesmo 
potencial.
Linhas de campo elétrico e superfícies
equipotenciais perpendiculares.
O trabalho realizado quando uma
partícula se desloca em uma mesma
superfície equipotencial é zero.
(?);;; IVIIIII WWWW
3
Potencial Elétrico 9
Potencial Elétrico
r
qV
04
1


Calculamos o potencial criado por q, a uma distância r (ponto P),
deslocando uma carga de prova q0 do ponto P ao infinito.
Potencial Produzido por uma Carga Pontual
 
f
i
r
r
if sdEVV

2
04
1
r
qE


10cos;;  fi rRr
...1
4 20



RR
if drr
qVsdEVV


00
;00


Vqse
VqSe
EdsdsEsdE  cos

0)(;)(  VVVRVV fi
drds 
Válida para calcular o potencial elétrico fora ou na superfície de
uma distribuição de cargas com simetria esférica. Potencial Elétrico 10
Potencial Elétrico



n
i i
i
n
i
i r
qVV
101 4
1

Potencial Produzido por um Grupo de Cargas 
Pontuais
Usamos o princípio da superposição
Exemplo 3:
Qual o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do
quadrado de cargas pontuais que aparece na figura abaixo? A
distância d = 1,3 m e as cargas são: (V=350V)
q1 = +12 nC
q2 = -24 nC
q3 = +31 nC
q4 = +17 nC
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 11
Exercício:
1. Um próton (carga positiva do elétron) se move ao longo de uma linha reta de
um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear, sendo d = 0,50
m a distância percorrida. O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e
possui módulo E = 1,5 x107 V/m no sentido de a para b. Determine (a) a força
sobre o próton; (b) o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a
diferença de potencia Va – Vb. (2,4 x 10-12 N; 1,2 x 10 -12J; 7,5 MV)
2. Duas cargas puntiformes q1 = +12 nC e q2 = -12 nC separadas por uma
distância de 10 cm. Com V=0 no infinito, calcule os potenciais nos pontos a, b
e c. (-900V; 1930V; 0)
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 12
Exercício:
3. A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas,
com a = 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC
e q2 = 6 pC. Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do
retângulo? (2,21 V)
4
Potencial Elétrico 13
Potencial Elétrico
2
0
cos
4
1
r
pV 

 Dipolo Elétrico
V a uma distância r do seu centro Usamos o princípio da superposição.
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico



n
i i
i
n
i
i r
qVV
101 4
1








 




)()(0
)()(
1 4
1
r
q
r
qVVVV
n
i
i 












2
)()(
)()( cos
rrr
drr 
)( dipolodemomentoqdp 
Potencial Elétrico 14
Potencial Elétrico
 







 
d
dLLV
2122
0
ln
4

• Linha de cargas
dxdq
dx
dq  
  2122 dxr r
dqdV
04
1


 r
dqV
04
1

Potencial Produzido por uma Distribuição 
Contínua de Cargas
Potencial Elétrico 15
Potencial Elétrico
 zRzV  22
02

• Disco carregado
Potencial Produzido por um Disco Carregado
)( aneldoáreadAdAdq
dA
dq  
)')('2( dRRdq 
22
00 '
)')('2(
4
1
4
1
Rz
dRR
r
dqdV

 

A expressão para V(z):
Para calcular V, integramos os anéis de : RRR  '0'
 
R
Rz
drRdVV
0
22
0 '
'
2


















''
2
''2
'22
dRRdx
dRRdx
xRz
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 16
Exercício:
4. Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga
uniformemente distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um
arco de circunferência R = 3,71 cm e um ângulo centra de
120º. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no
ponto P, o centro da curvatura da barra? (-6.20 V)
5. O rosto sorridente da figura abaixo é formada por três
elementos:
i. Uma barra fina com uma carga de -3 µC e a forma de uma
circunferência completa de 6 cm de raio;
ii. Uma segunda barra fina com uma carga de 2 µC e a forma
de um arco de circunferência com 4 cm de raio, concêntrico
com o primeiro elemento;
iii. Um dipolo com um momento dipolar na direção perpendicular
ao diâmetro do primeiro elemento que passa pelo centro do
segundo elemento, cujo módulo é 1,28 x 10-21 C.m.
Determine o potencial elétrico no centro da circunferência. (0)
5
Potencial Elétrico 17
Gradiente de Potencial
Quando o campo elétrico é uniforme:
s
VEs 

x
VEx 

y
VEy 

z
VEz 

s
VE


A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo
da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção.
Se tomarmos o eixo s como sendo sucessivamente, os
eixos x, y e z, as componentes do campo elétrico são:
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do 
Potencial
ds
dVE
dsEqsdEqdVqdW




cos
cos000

sddedireçãonaEdecomponenteEEs
 cos
O trabalho sobre ao se deslocar entre duas equipotenciais é:0q
Assim:
Carga elétrica| 18
Exemplo 5: Potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central de um disco
uniformemente carregado.
   







22
0
22
0
1
22 Rz
zzRz
dz
d
z
VEz 



 zRzV  22
02

Calculando :zE
    
1
12
2
1
22
2222 21



Rz
z
zRzzRz
dz
d
Potencial Elétrico 19
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exercício:
6. O potencial elétrico é dado por V = 2x2 – 3y2. Qual é o módulo do 
campo elétrico no ponto (3m; 2m; 0)? (16,97 V/m)
7. Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o 
potencial é dado por V = 2xyz2? (150,1 V/m)
Potencial Elétrico 20
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
W = trabalho realizado contra o campo e não pelo campo (força externa).
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é
igual ao trabalho que deve ser executado por um agente externo para
montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita
umas das outras.
r
qqVqWU 21
0
2 4
1


Energia potencial elétrica de 
um par de cargas
W > 0 se as cargas tiverem o mesmo sinal;
W < 0 se as cargas tiverem sinais opostos.
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de 
Cargas Pontuais
VqW 2 r
qV 1
04
1

e
6
Potencial Elétrico 21
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exemplo 6.
A figura mostra três carga pontuais mantidas fixas no lugar por forças não
especificadas. Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema de
cargas? Suponha d = 12 cm e que q1 = +q, q2 = -4q e q3 = +2q, onde q = 150
nC. (-17 mJ)
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de 
Cargas Pontuais
Potencial Elétrico 22
Potencial de um condutor carregado.
Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na
superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos
os pontos do condutor (tanto na superfície como no interior). Isso
acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo
que essa cavidade interna contenha um carga elétrica.
i. Interior:
R
qVV fi
04
1

0E
ii. Exterior (casca esférica condutora):
2
04
1
r
qE

 Cxe 19106,1 
Potencial de um Condutor Carregado
Carga elétrica| 23
Condutor em um Campo Elétrico
Potencial Elétrico 24
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exercício:
8. Determine o trabalho necessário para
deslocar uma partícula de carga Q =
+16e, inicialmente em repouso, ao
longo da reta tracejada, do infinito até o
ponto indicado, nas proximidades de
duas partículas fixas de cargas q1 = +4e
e q2 = -q1/2. Suponha d = 1,4 cm, θ1 =
43º e θ2 = 60º. (0)
9. Na figura, sete partículas carregadas
são mantidas fixas no lugar para formar
um quadrado com 4 cm de lado. Qual é
o trabalho necessário para deslocar
para o centro do quadrado uma
partícula de carga +6e inicialmente em
repouso a uma distância infinita? (2,1 x
10-25 J)
7
Potencial Elétrico 25
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exercício:
10. Uma partícula de carga +7,5 µC é liberada a partir do repouso sobre
o eixo x, no ponto x = 60 cm. A partícula começa a se mover devido à
presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem. Qual é a
energia cinética da partícula após deslocar 40 cm (a) se Q = + 20 µC e
(b) se Q = - 20 µC? (0,899J; 4,5 J)
11. Uma carga de -9 nC está distribuída uniformemente em um anel fino
de plástico situado no plano yz, com o centro do anel na origem. Uma
carga pontual de -6pC está situada sobre o eixo x, no ponto x = 3m. Se
o raio do anel é 1,5 m, qual deve ser o trabalho executado por uma
força externa sobre a carga pontual para deslocá-la até a origem? (1,8
x 10-10J