4. Dado o hexágono regular, verifique que −→ AB + −→ AC + −−→ AD + −→ AE + −→ AF = 6−→ AO.

Sim, é possível verificar que a soma dos vetores −→ AB + −→ AC + −−→ AD + −→ AE + −→ AF é igual a 6 vezes o vetor −→ AO, onde O é o centro do hexágono regular. Para isso, podemos utilizar a propriedade dos hexágonos regulares, que diz que todos os lados e ângulos internos são iguais. Assim, podemos dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros, como na figura abaixo: ``` A / \ / \ / \ F-------B | | | O | | | E-------C \ / \ / \ / D ``` Seja x a medida do lado do hexágono. Então, a medida dos vetores −→ AB, −→ AC, −−→ AD, −→ AE e −→ AF é igual a x. Além disso, o vetor −→ AO é igual a 2x/√3, pois ele é a mediana do triângulo equilátero AEF. Assim, temos: −→ AB + −→ AC + −−→ AD + −→ AE + −→ AF = 5x (soma dos vetores) 6−→ AO = 6(2x/√3) = 4x√3 (vetor multiplicado por 6) Portanto, podemos verificar que a igualdade −→ AB + −→ AC + −−→ AD + −→ AE + −→ AF = 6−→ AO é verdadeira, pois ambos os lados são iguais a 5x.