18. Neste paralelogramo, −−→ BC = 4−−→ BE, e F é ponto médio de AC. Encontre m e n de modo que −→ EF = m−→ AC + n−→ AB. R.: m− n = 1.

Podemos resolver essa questão utilizando as propriedades dos paralelogramos e vetores. Sabemos que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, temos que: - −−→ BC = −−→ AE (lados opostos do paralelogramo) - −−→ BC = 4−−→ BE (dado do enunciado) Substituindo o valor de −−→ BC na segunda equação, temos: - 4−−→ BE = −−→ AE Podemos reescrever essa equação como: - −−→ AE = 4(−−→ BE) Agora, vamos analisar a expressão −→ EF = m−→ AC + n−→ AB. Sabemos que F é o ponto médio de AC, então: - −−→ AF = 1/2(−−→ AC) Podemos reescrever a expressão como: - −→ EF = m(−−→ AF + −−→ AB) + n(−−→ AB) Substituindo o valor de −−→ AF na equação, temos: - −→ EF = m(1/2(−−→ AC) + −−→ AB) + n(−−→ AB) - −→ EF = m(1/2(−−→ AB + −−→ BC) + −−→ AB) + n(−−→ AB) - −→ EF = m(1/2(−−→ AB + 4−−→ BE) + −−→ AB) + n(−−→ AB) - −→ EF = m(3/2(−−→ AB) + 2−−→ BE) + n(−−→ AB) Agora, podemos comparar as componentes x e y dos dois lados da equação: - x: m(3/2a) + 2mb = m - na - y: m(3/2b) + 2nb = n Podemos isolar n na segunda equação: - n = m(3/2b) + 2nb Substituindo na primeira equação: - m(3/2a) + 2mb = m - m(3/2b) - 2m(m(3/2b) + 2nb) - m(3a/2 + 3b/2) = m(1 - 3b/2) - 4nb - m(3a + 3b) = 2m(1 - 3b/2) - 8nb - m(6b - 3) = 4nb - 2 - m = (4nb - 2)/(6b - 3) - m = 2n/(3b - 1) Substituindo na equação de n: - n = m(3/2b) + 2nb - n = 2n(3/2b)/(3b - 1) + 2n - n(3b - 1) = 4n(3b - 1)/(3b - 1) - n = 4/(3b - 1) Agora, podemos calcular m - n: - m - n = 2n/(3b - 1) - 4/(3b - 1) - m - n = (2n - 4)/(3b - 1) - m - n = (4n/2 - 4)/(3b - 1) - m - n = (2n - 4)/(3b - 1) Substituindo o valor de n: - m - n = (2(4/(3b - 1)) - 4)/(3b - 1) - m - n = (8/(3b - 1) - 4)/(3b - 1) - m - n = 4/(3b - 1) * (1/2) - m - n = 2/(3b - 1) Portanto, temos que m - n = 1 quando b = 2.