19. Sejam A,B,C e D pontos quaisquer. Sabendo que M é ponto médio de AC e N é ponto médio de BD, exprima −→ AB + −−→ AD + −−→ CB + −−→ CD em fu...

Podemos utilizar a propriedade de que o vetor soma de dois vetores é igual ao vetor que liga as extremidades desses vetores. Assim, temos: −→ AB + −−→ AD = −→ BD −→ CB + −−→ CD = −→ BD Podemos escrever −→ BD em função de −−→ MN, utilizando a mesma propriedade. Temos: −→ BD = −→ BM + −−→ MD −→ BD = (−1/2)−−→ AC + (1/2)−−→ BD −→ BD = (1/2)(−−→ BD − −−→ AC) Substituindo −→ BD em função de −−→ MN, temos: −→ AB + −−→ AD + −→ CB + −−→ CD = −→ BD + −→ BD −→ AB + −−→ AD + −→ CB + −−→ CD = (1/2)(−−→ BD − −−→ AC) + (1/2)(−−→ BD + −−→ AC) −→ AB + −−→ AD + −→ CB + −−→ CD = (1/2)(−−→ BD − −−→ AC + −−→ BD + −−→ AC) −→ AB + −−→ AD + −→ CB + −−→ CD = (1/2)(2−−→ MN) −→ AB + −−→ AD + −→ CB + −−→ CD = −−→ MN Portanto, a expressão procurada é −−→ MN.