27. Seja {~a,~b,~c} é uma base ortonormal do espaço. Sabendo que ~v = x~a + y~b + z~c e ~w = x′~a+ y′~b+ z′~c, verifique que 〈~v, ~w〉 = xx′ + yy′...

Para verificar que 〈~v, ~w〉 = xx′ + yy′ + zz′, podemos usar a definição do produto interno: 〈~v, ~w〉 = (~v)·(~w) = (x~a + y~b + z~c)·(x′~a+ y′~b+ z′~c) Como {~a,~b,~c} é uma base ortonormal, temos que: ~a·~a = ~b·~b = ~c·~c = 1 ~a·~b = ~a·~c = ~b·~c = 0 Então, podemos calcular cada um dos produtos escalares: ~a·~a = 1, ~a·~b = 0, ~a·~c = 0 ~b·~a = 0, ~b·~b = 1, ~b·~c = 0 ~c·~a = 0, ~c·~b = 0, ~c·~c = 1 Substituindo na expressão do produto interno, temos: (x~a + y~b + z~c)·(x′~a+ y′~b+ z′~c) = x·x′(~a·~a) + x·y′(~a·~b) + x·z′(~a·~c) + y·x′(~b·~a) + y·y′(~b·~b) + y·z′(~b·~c) + z·x′(~c·~a) + z·y′(~c·~b) + z·z′(~c·~c) Simplificando, temos: (x~a + y~b + z~c)·(x′~a+ y′~b+ z′~c) = x·x′ + y·y′ + z·z′ Portanto, 〈~v, ~w〉 = xx′ + yy′ + zz′.