Determine os valores máximos e mínimos locais os pontos de sela da função ????(????, ????) = ????4 + ????4 − 4???????? + 1. gabarito

Para determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1, podemos utilizar o método das derivadas parciais. Calculando as derivadas parciais de f em relação a x e y, temos: fx = 4x^3 - 4y fy = 4y^3 - 4x Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações: 4x^3 - 4y = 0 4y^3 - 4x = 0 Encontramos os pontos críticos (0,0), (1,1) e (-1,-1). Para determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, podemos utilizar a matriz Hessiana: Hf = [12x^2 -4; -4 12y^2] Avaliando a Hessiana nos pontos críticos, temos: Hf(0,0) = [-4 -4; -4 -4] Hf(1,1) = [12 -4; -4 12] Hf(-1,-1) = [12 -4; -4 12] No ponto (0,0), a Hessiana é negativa definida, o que indica um máximo local. No ponto (1,1), a Hessiana é positiva definida, o que indica um mínimo local. No ponto (-1,-1), a Hessiana possui autovalores de sinais opostos, o que indica um ponto de sela. Portanto, os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função são: - Máximo local: f(0,0) = 1 - Mínimo local: f(1,1) = -1 - Ponto de sela: f(-1,-1) = 3