Justify, using Definition 4.1: 1. limx!�1 x2�1 x2 = 1. 2. limx!1 1 x3+sen2 x = 0 a. Only 1 is correct. b. Only 2 is correct. c. Both 1 and 2 ar...

De acordo com a Definição 4.1, uma função f(x) tem limite L quando x se aproxima de a se, e somente se, para cada número ε > 0, existe um número δ > 0 tal que |f(x) - L| < ε sempre que 0 < |x - a| < δ. Usando essa definição, podemos justificar as respostas para as duas questões: 1. limx!−1 x^2−1 / x^2 = 1 Podemos reescrever a expressão como limx!−1 (x^2 - 1) / x^2 e, em seguida, dividir o numerador e o denominador por x^2. Isso nos dá limx!−1 (1 - 1/x^2), que é uma forma indeterminada do tipo 0/0. Podemos usar a regra de L'Hôpital para derivar o numerador e o denominador em relação a x, o que nos dá limx!−1 (-2/x^3) / (2x/x^2). Simplificando, obtemos limx!−1 -1/x, que é igual a -1/(-1) = 1. Portanto, a alternativa correta é a letra c) Ambas as afirmações 1 e 2 estão corretas. 2. limx!1 1 / (x^3 + sen^2 x) = 0 Podemos observar que o denominador da expressão é sempre positivo, então podemos usar a desigualdade |sen x| ≤ 1 para obter a desigualdade x^3 + sen^2 x ≥ x^3. Isso nos permite escrever 1 / (x^3 + sen^2 x) ≤ 1 / x^3. Agora, podemos usar a definição de limite para mostrar que o limite da expressão é 0. Dado ε > 0, podemos escolher δ = 1/ε. Então, se 0 < |x - 1| < δ, temos |1 / (x^3 + sen^2 x)| ≤ 1 / x^3 < ε. Portanto, a alternativa correta é a letra b) Apenas a afirmação 2 está correta.