Exercício 5.39. (Segunda prova, 27 de maio de 2011) Um balão esférico se enche de ar a uma taxa de 2 metros cúbicos por segundo. Calcule a taxa com...

Para resolver esse exercício, precisamos utilizar a fórmula do volume de uma esfera, que é V = 4/3 * pi * r^3. Sabemos que a taxa de variação do volume é de 2 m³/s, então podemos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação do raio: dV/dt = 4/3 * pi * 3r^2 * dr/dt Substituindo os valores conhecidos, temos: 2 = 4/3 * pi * 3r^2 * dr/dt Simplificando: dr/dt = 2 / (4pi * r^2) Quando o volume atinge 4/3 m³, podemos encontrar o valor do raio utilizando a fórmula do volume: 4/3 = 4/3 * pi * r^3 r = 1 metro Substituindo o valor do raio na equação da taxa de variação do raio, temos: dr/dt = 2 / (4pi * 1^2) dr/dt = 1/2pi m/s Portanto, a taxa com a qual o raio do balão cresce no instante em que o seu volume atingiu 4/3 m³ é de 1/2pi m/s.