Exercício 6.12. Se a > 0, calcule In = R a 0 x 1=ndx. Calcule limn!1 In, e dê a inter- pretação geométrica da solução. (Dica: lembre dos esboços d...

Para calcular In, podemos usar integração por substituição. Fazendo a substituição x = at^2, temos: In = ∫(0 até a) dx / (x^(1/2) * (a-x)^(1/2)) In = 2a ∫(0 até 1) dt / (1-t^2)^(1/2) Fazendo a substituição t = sen(u), temos: In = 2a ∫(0 até π/2) du In = πa Para calcular o limite de In quando n tende ao infinito, podemos usar o Teorema da Convergência. Como In = πa para todo n, temos que o limite é πa. A interpretação geométrica da solução é que In representa a área da região limitada pelo eixo x, a reta x = a e a curva y = 1/√x. O limite de In quando n tende ao infinito representa a área total sob a curva, que é igual a πa.