Exercício 6.50. Quando for possível, estude as seguintes integrais via uma comparação. 1. R1 1 dx x2+x 2. R1 1 dxp x(x+1) 3. R1 0 dx 1+ex 4. R2 ...

Vou ajudá-lo a estudar as integrais por comparação: 1. Para estudar a integral R1 dx / (x^2 + x), podemos compará-la com a integral R1 dx / x^2. Observe que x^2 + x > x^2 para x > 0. Portanto, temos que 1 / (x^2 + x) < 1 / x^2. Como a integral R1 dx / x^2 é convergente, a integral R1 dx / (x^2 + x) também é convergente. 2. Para estudar a integral R1 dx / (x(x+1))^p, podemos compará-la com a integral R1 dx / x^p. Observe que x(x+1) > x^2 para x > 0. Portanto, temos que 1 / (x(x+1))^p < 1 / x^2p. Como a integral R1 dx / x^2p é convergente para p > 1/2, a integral R1 dx / (x(x+1))^p também é convergente para p > 1/2. 3. Para estudar a integral R1 dx / (1+e^x), podemos compará-la com a integral R1 dx / e^x. Observe que 1+e^x > e^x para x > 0. Portanto, temos que 1 / (1+e^x) < 1 / e^x. Como a integral R1 dx / e^x é convergente, a integral R1 dx / (1+e^x) também é convergente. 4. Para estudar a integral R2 ex / e^(ex-1) dx, podemos fazer a substituição u = ex-1, o que nos dá a integral R1 du / u. Como a integral R1 du / u é divergente, a integral R2 ex / e^(ex-1) dx também é divergente. 5. Para estudar a integral R0 dx / (2x^2+1), podemos compará-la com a integral R0 dx / x^2. Observe que 2x^2+1 > x^2 para x > 0. Portanto, temos que 1 / (2x^2+1) < 1 / x^2. Como a integral R0 dx / x^2 é divergente, a integral R0 dx / (2x^2+1) também é divergente. 6. Para estudar a integral R3 dx / (x^2-1), podemos fazer a decomposição parcial x^2-1 = (x-1)(x+1) e comparar cada integral com a integral R1 dx / x^2. Observe que (x-1)(x+1) > x^2 para x > 1. Portanto, temos que 1 / (x^2-1) < 1 / x^2. Como a integral R1 dx / x^2 é convergente, a integral R3 dx / (x^2-1) também é convergente. 7. Para estudar a integral R1 dx / (x^2+1)^(p/2), podemos fazer a substituição x = tan(t) e usar a identidade trigonométrica 1 + tan^2(t) = sec^2(t). Isso nos dá a integral Rpi/4 dx / (x^2+1)^(p/2). Podemos compará-la com a integral Rpi/4 dx / x^p. Observe que (x^2+1)^(p/2) > x^p para x > 0. Portanto, temos que 1 / (x^2+1)^(p/2) < 1 / x^p. Como a integral Rpi/4 dx / x^p é convergente para p > 1, a integral R1 dx / (x^2+1)^(p/2) também é convergente para p > 1. 8. Para estudar a integral R1 dx / (x^4+1)/(x^2-1), podemos compará-la com a integral R1 dx / x^2. Observe que (x^4+1)/(x^2-1) > x^2 para x > 1. Portanto, temos que 1 / (x^4+1)/(x^2-1) < 1 / x^2. Como a integral R1 dx / x^2 é convergente, a integral R1 dx / (x^4+1)/(x^2-1) também é convergente. 9. Para estudar a integral R1 dx / (x^2+1+sen(x))/x, podemos compará-la com a integral R1 dx / x. Observe que (x^2+1+sen(x))/x > 1 para x > 1. Portanto, temos que 1 / (x^2+1+sen(x))/x < 1 / x. Como a integral R1 dx / x é divergente, a integral R1 dx / (x^2+1+sen(x))/x também é divergente. 10. Para estudar a integral R2 e^(ln(x)^2) dx, podemos fazer a substituição u = ln(x) e usar a identidade e^(ln(x)^2) = x^2. Isso nos dá a integral Rln(2) du / u^2. Podemos compará-la com a integral R1 dx / x^2. Observe que ln(2) < 1. Portanto, temos que 1 / u^2 < 1 / x^2. Como a integral R1 dx / x^2 é convergente, a integral R2 e^(ln(x)^2) dx também é convergente.