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(ENADE 2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida no ponto P, localizado a 12 metros da b...

(ENADE 2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida no ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo: Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?

💡 1 Resposta

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Para resolver esse problema, podemos utilizar a equação da trajetória da bola, que é dada por: y = ax² + bx + c Onde y é a altura da bola em relação ao chão, x é a distância horizontal percorrida pela bola e a, b e c são constantes que dependem das condições iniciais do lançamento. Sabemos que o ponto Q é o ponto máximo da trajetória, ou seja, a altura da bola em Q é de 3 metros. Além disso, sabemos que a bola é lançada a partir do ponto P, que está a 12 metros da barreira. Portanto, podemos escrever: y = a(x - 12)² + 3 Agora, precisamos determinar os valores de a, b e c. Para isso, vamos utilizar as condições iniciais do lançamento: - A bola é lançada com velocidade inicial v0 formando um ângulo θ com a horizontal. - A distância horizontal percorrida pela bola até atingir o gol é de 8 metros. Podemos escrever as equações horárias da posição da bola em x e y: x = v0cos(θ)t y = v0sen(θ)t - (1/2)gt² Onde g é a aceleração da gravidade e t é o tempo decorrido desde o lançamento. Como a bola atinge o gol, sabemos que sua altura em x = 8 metros é zero. Portanto, podemos escrever: 0 = a(8 - 12)² + 3 a = -3/16 Substituindo o valor de a na equação da trajetória, temos: y = (-3/16)(x - 12)² + 3 Agora, precisamos determinar a altura da bola em x = 8 metros. Substituindo na equação acima, temos: y = (-3/16)(8 - 12)² + 3 y = 2,25 metros Portanto, a bola está a 2,25 metros de altura ao atingir o gol.

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