Dados A = (0, 1, 2) e r : X = (1, 1, 1) + t(1, −1, 1), t ∈ R, ache os pontos de r que equidistam √ 29 de A.

Para encontrar os pontos de r que equidistam √29 de A, precisamos encontrar a equação da esfera com centro em A e raio √29. A equação da esfera é dada por: (x - xA)² + (y - yA)² + (z - zA)² = r² Onde (xA, yA, zA) é o centro da esfera e r é o raio. Substituindo os valores de A = (0, 1, 2) e r = √29, temos: x² + (y - 1)² + (z - 2)² = 29 Agora, precisamos encontrar os pontos de r que satisfazem essa equação. Substituindo as coordenadas de r na equação da esfera, temos: (x - 1)² + (y - 2 + t)² + (z - 1)² = 29 Expandindo e simplificando, temos: x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4t + 4 + z² - 2z + 1 = 29 x² + y² + z² - 2x - 4y - 2z + 4t - 24 = 0 Agora, podemos usar a condição de que um ponto de r está equidistante de A se e somente se a distância entre o ponto e A é igual a √29. A distância entre um ponto genérico de r e A é dada por: d = √[(x - 0)² + (y - 1)² + (z - 2)²] Igualando a distância a √29, temos: √[(x - 0)² + (y - 1)² + (z - 2)²] = √29 Simplificando, temos: x² + y² + z² - 2x - 2y - 4z + 12 = 0 Agora, podemos resolver o sistema de equações: x² + y² + z² - 2x - 4y - 2z + 4t - 24 = 0 x² + y² + z² - 2x - 2y - 4z + 12 = 0 Subtraindo a segunda equação da primeira, temos: -2y + 4t - 36 = 0 y = 2t - 18 Substituindo y em uma das equações, por exemplo, na segunda, temos: x² + (2t - 19)² + (z - 2)² = 29 Expandindo e simplificando, temos: 5t² - 20t + x² + z² - 8z - 84 = 0 Agora, podemos resolver o sistema de equações: x² + y² + z² - 2x - 4y - 2z + 4t - 24 = 0 5t² - 20t + x² + z² - 8z - 84 = 0 Substituindo y por 2t - 18 na primeira equação, temos: x² + (2t - 18)² + z² - 2x - 8t + 36 - 2z + 4t - 24 = 0 Simplificando, temos: x² + 4t² - 32t + z² - 2x - 2z - 12 = 0 Substituindo x² + z² por 29 - y² na segunda equação, temos: 5t² - 20t + 29 - y² - 8z - 84 = 0 Substituindo y por 2t - 18, temos: 5t² - 20t + 29 - (2t - 18)² - 8z - 84 = 0 Expandindo e simplificando, temos: 13t² - 8z - 225 = 0 Agora, podemos resolver o sistema de equações: x² + 4t² - 32t + z² - 2x - 2z - 12 = 0 13t² - 8z - 225 = 0 Isolando z na segunda equação, temos: z = (13t² - 225) / 8 Substituindo z na primeira equação, temos: x² + 4t² - 32t + [(13t² - 225) / 4] - 2x - [(13t² - 225) / 4] - 12 = 0 Simplificando, temos: x² - 2x + 29t² - 32t - 29 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau em x, temos: x = 1 ± √[(-1)² - 4(29t² - 32t - 29)] / 2 x = 1 ± √[116t² - 464t] / 2 x = 1 ± 2t√29 / 2 x = 1 ± t√29 Agora, podemos encontrar os valores correspondentes de y e z substituindo x, t e z nas equações que encontramos anteriormente. Portanto, os pontos de r que equidistam √29 de A são: (1 + t√29, 2t - 18, (13t² - 225) / 8) (1 - t√29, 2t - 18, (13t² - 225) / 8)