Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é A = [9 1; 10 0]. Sabemos que a...

Para calcular A^5, precisamos primeiro encontrar a matriz diagonal B. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A. Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(A - λI) = det([9-λ 1; 10 0-λ]) = (9-λ)(-λ) - 10 = λ^2 - 9λ - 10 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos os autovalores λ1 = 10 e λ2 = -1. Para encontrar os autovetores, precisamos resolver o sistema de equações (A - λI)x = 0 para cada autovalor. Para λ1 = 10, temos: (A - 10I)x = [9-10 1; 10 0-10]x = [-1 1; 10 -10]x = 0 Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor x1 = [1; 1]. Para λ2 = -1, temos: (A + I)x = [9+1 1; 10 0+1]x = [10 1; 10 1]x = 0 Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor x2 = [-1; 1]. Assim, a matriz diagonal B é dada por: B = [λ1 0; 0 λ2] = [10 0; 0 -1] Agora podemos calcular A^5 usando a equação An = P.B^n.P-1, onde P é a matriz dos autovetores e P-1 é a matriz inversa de P. Temos: P = [x1 x2] = [1 -1; 1 1] P-1 = (1/2)[1 1; -1 1] B^5 = [10^5 0; 0 (-1)^5] = [100.000 0; 0 -1] A^5 = P.B^5.P-1 = [1 -1; 1 1].[100.000 0; 0 -1].(1/2)[1 1; -1 1] = [50.000 -50.000; 50.000 50.000].[1 1; -1 1] = [100.000 0; 0 100.000] Portanto, a alternativa correta é a letra C) A^5 = [100.000 3.125; 100.000 - 12.500].