Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO...

Para determinar se a matriz é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Para isso, precisamos calcular os autovetores e autovalores da matriz A. Calculando os autovalores, temos: det(A - λI) = 0 |2-λ 1 1 | |1 2-λ 1 | |1 1 2-λ| = 0 (2-λ)[(2-λ)^2 - 1] - (2-λ)[(2-λ)-1] + (1-2+λ) = 0 (2-λ)[(2-λ-1)(2-λ+1) - (2-λ+1)] - λ + 1 = 0 (2-λ)[(λ-3)(λ-1)] - λ + 1 = 0 (λ-1)(λ-3)(λ-2) = 0 Logo, os autovalores são λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = 3. Agora, para cada autovalor, precisamos encontrar um autovetor associado. Para λ1 = 1, temos: (A - λ1I)v1 = 0 |1 1 1| |x| |0| |1 1 1| |y| = |0| |1 1 1| |z| |0| x + y + z = 0 Podemos escolher, por exemplo, v1 = (1, -1, 0). Para λ2 = 2, temos: (A - λ2I)v2 = 0 |0 1 1| |x| |0| |1 0 1| |y| = |0| |1 1 0| |z| |0| x + y = 0 x + z = 0 Podemos escolher, por exemplo, v2 = (1, -1, 1). Para λ3 = 3, temos: (A - λ3I)v3 = 0 |-1 1 1| |x| |0| |1 -1 1| |y| = |0| |1 1 -1| |z| |0| -x + y + z = 0 Podemos escolher, por exemplo, v3 = (1, 1, 1). Como temos três autovetores linearmente independentes, a matriz A é diagonalizável. A matriz diagonal D é: |1 0 0| |0 2 0| |0 0 3| E as matrizes P e P^-1 são: P = |1 1 1| P^-1 = 1/3 |-1 1 1| |-1 1 1| | 1 0 -1| | 0 1 -1| |-1 0 1| Portanto, a matriz diagonal é uma matriz semelhante de A, e as matrizes P e P^-1 satisfazem a expressão.