Um bastão cilíndrico, de madeira, é lastreado com chumbo em uma extremidade, de maneira que ele flutue verticalmente na água, como mostra a figura....

(a) Para mostrar que o movimento é harmônico simples, precisamos verificar se a força restauradora é proporcional ao deslocamento do objeto em relação à posição de equilíbrio. No caso do bastão cilíndrico, a força restauradora é a força de empuxo, que é proporcional ao volume de água deslocado pelo bastão. Como o volume deslocado é proporcional à altura submersa, a força restauradora é proporcional ao deslocamento do bastão em relação à posição de equilíbrio. Portanto, o movimento é harmônico simples. (b) O período do movimento harmônico simples é dado por T = 2π√(m/k), onde m é a massa do objeto e k é a constante elástica da força restauradora. No caso do bastão cilíndrico, a massa é a massa total do bastão e do lastro de chumbo, e a constante elástica é a constante de empuxo da água. Podemos calcular a massa total como a densidade do bastão vezes o volume total, que é a soma do volume do bastão e do lastro de chumbo. A densidade do bastão é a densidade da madeira, que é cerca de 0,6 g/cm³. O volume do bastão é πr²h, onde r é o raio e h é a altura total do bastão. O volume do lastro de chumbo é a área da seção transversal vezes o comprimento. Portanto, a massa total é: m = (0,6 g/cm³)(πr²h + A × L) onde A é a área da seção transversal do lastro de chumbo e L é o comprimento do lastro. A constante elástica da força restauradora é a constante de empuxo da água, que é igual ao peso do volume de água deslocado pelo bastão. O volume de água deslocado é igual à área da seção transversal do bastão vezes a altura submersa. Portanto, a constante elástica é: k = ρgA × l onde ρ é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e l é a altura submersa. Substituindo os valores conhecidos na fórmula do período, temos: T = 2π√(m/k) = 2π√[(0,6 g/cm³)(πr²h + A × L)/(ρgA × l)] Simplificando a expressão, temos: T = 2π√[(0,6ρr²h + 0,6ρA × L)/(gA × l)] Substituindo os valores numéricos, temos: T = 2π√[(0,6 × 1000 kg/m³ × (0,05 m)² × 2,4 m + 0,6 × 11340 kg/m³ × (0,02 m)² × 0,6 m)/(9,81 m/s² × (0,05 m)² × 2,4 m)] T = 2π√(0,12) T ≈ 0,78 s Portanto, o período do movimento é de aproximadamente 0,78 segundos.