27. (Udesc 2017) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem o vértice sobre uma semiesfera e a base inscrita na base desta semiesfera. Sabendo que...

Para calcular o volume de uma pirâmide regular, utilizamos a fórmula V = (1/3) * A_base * h, onde A_base é a área da base e h é a altura da pirâmide. Nesse caso, a base da pirâmide é um hexágono regular inscrito em uma semiesfera, e a altura é a distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base. Para encontrar a altura, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela aresta lateral da pirâmide, a apótema do hexágono e a altura da semiesfera. Temos: a² = r² + h² 10² = (2r)² + h² 100 = 4r² + h² Também sabemos que a apótema do hexágono é igual a r√3/2. Podemos utilizar esse valor para encontrar a área da base: A_base = 3 * (lado do hexágono)² * √3/2 A_base = 3 * 10² * √3/2 A_base = 150√3 Substituindo os valores encontrados na fórmula do volume, temos: V = (1/3) * 150√3 * h Precisamos encontrar o valor de h para calcular o volume. Para isso, podemos utilizar a relação entre o raio da semiesfera e a aresta lateral da pirâmide: r² + h² = (3/2) * 10² r² + h² = 150 Substituindo o valor de r² encontrado na equação anterior, temos: 4r² + h² + h² = 100 + 150 8r² + 2h² = 250 4r² + h² = 125 Substituindo o valor de r² encontrado na equação anterior na equação anterior, temos: 100 + h² = 125 h² = 25 h = 5 Substituindo o valor de h na fórmula do volume, temos: V = (1/3) * 150√3 * 5 V = 2500√3/3 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 3250√3 cm³.