13. (Uece 2017) Quantos são os números naturais pares formados com quatro dígitos que têm pelo menos dois dígitos iguais? a) 2.204. b) 2.468. c) ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o princípio da contagem. Primeiro, vamos contar quantos números pares de quatro dígitos existem. O último dígito deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, temos 5 opções. Para o terceiro dígito, temos 10 opções (0 a 9). Para o segundo dígito, temos novamente 10 opções. Para o primeiro dígito, temos 9 opções (não pode ser 0, pois senão não seria um número de quatro dígitos e não pode ser igual ao segundo dígito, pois senão não teríamos pelo menos dois dígitos iguais). Assim, temos um total de 5 x 10 x 10 x 9 = 4.500 números pares de quatro dígitos. Agora, vamos contar quantos desses números têm pelo menos dois dígitos iguais. Podemos fazer isso por complementaridade, ou seja, contar quantos números não têm pelo menos dois dígitos iguais e subtrair esse valor do total de números pares de quatro dígitos. Para contar quantos números não têm pelo menos dois dígitos iguais, podemos separar em dois casos: 1. Todos os dígitos são diferentes: temos 9 opções para o primeiro dígito, 9 opções para o segundo dígito (não pode ser igual ao primeiro), 8 opções para o terceiro dígito (não pode ser igual ao primeiro nem ao segundo) e 5 opções para o último dígito (deve ser par). Assim, temos um total de 9 x 9 x 8 x 5 = 3.240 números. 2. Apenas dois dígitos são iguais: temos 9 opções para o primeiro dígito, 9 opções para o segundo dígito (não pode ser igual ao primeiro), 1 opção para o terceiro dígito (deve ser igual a um dos dois primeiros) e 5 opções para o último dígito (deve ser par). Assim, temos um total de 9 x 9 x 2 x 5 = 810 números. Portanto, o número de números pares de quatro dígitos que têm pelo menos dois dígitos iguais é 4.500 - 3.240 - 810 = 450. Assim, a alternativa correta é a letra E) 450.