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Determine a função potencial associada ao campo vetorial F with rightwards harpoon with barb upwards on top left parenthesis x comma y right parent...

Determine a função potencial associada ao campo vetorial F with rightwards harpoon with barb upwards on top left parenthesis x comma y right parenthesis equals left parenthesis 1 plus y e to the power of x y end exponent right parenthesis. i with hat on top plus left parenthesis 2 y plus x e to the power of x y end exponent right parenthesis. j with hat on top. a. A função potencial é a seguinte: f left parenthesis x comma y right parenthesis equals x plus e to the power of x y end exponent plus y squared. b. A função potencial é a seguinte: f left parenthesis x comma y right parenthesis equals x plus 2 e to the power of x y end exponent plus y squared c. A função potencial é a seguinte: f left parenthesis x comma y right parenthesis equals x plus e to the power of x y end exponent plus 2 y squared d. A função potencial é a seguinte: f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 2 x plus e to the power of x y plus 3 y squared e. A função potencial é a seguinte: f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 2 x plus e to the power of x y end exponent plus y squared.

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Para determinar a função potencial associada ao campo vetorial F, é necessário verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Calculando a derivada parcial de F em relação a x, temos: ∂F/∂x = 1 + y*e^(xy) + 2xy*e^(xy) Calculando a derivada parcial de F em relação a y, temos: ∂F/∂y = 2 + x*e^(xy) Verificando se as derivadas cruzadas são iguais: ∂²F/∂y∂x = ∂/∂y(∂F/∂x) = x*e^(xy) + 2xy*e^(xy) ∂²F/∂x∂y = ∂/∂x(∂F/∂y) = x*e^(xy) + 2xy*e^(xy) Como as derivadas cruzadas são iguais, podemos afirmar que a função potencial existe e é dada por: f(x,y) = ∫(1 + y*e^(xy))dx = x + e^(xy) + g(y) Calculando a derivada parcial de f em relação a y, temos: ∂f/∂y = xe^(xy) + g'(y) Comparando com a derivada parcial de F em relação a y, temos: 2 + x*e^(xy) = xe^(xy) + g'(y) g'(y) = 2 + x*e^(xy) - xe^(xy) = 2 + (x-1)*e^(xy) Integrando g'(y), temos: g(y) = 2y + (x-1)*e^(xy) + C Portanto, a função potencial associada ao campo vetorial F é: f(x,y) = x + e^(xy) + 2y + (x-1)*e^(xy) + C A alternativa correta é a letra E.

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