Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerad...
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4x²=4�, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
A 16π�
B 16π�√17/17 u.a.
C √17/17 u.a.
D √17π/17� u.a.
E 2√17/2√17 u.a.
A 16π�
B 16π�√17/17 u.a.
C √17/17 u.a.
D √17π/17� u.a.
E 2√17/2√17 u.a.
💡 1 Resposta
Ed 
Para calcular a área da superfície cônica gerada pela rotação da curva y = 4x² em torno do eixo x, podemos utilizar a fórmula: A = 2π ∫[a,b] f(x) √(1 + [f'(x)]²) dx No caso, a curva é y = 4x² e estamos integrando no intervalo [0,2]. Então, temos: f(x) = 4x² f'(x) = 8x Substituindo na fórmula, temos: A = 2π ∫[0,2] 4x² √(1 + (8x)²) dx Fazendo a substituição u = 1 + (8x)², temos du/dx = 16x e dx = du/16x. Substituindo na integral, temos: A = 2π ∫[1,65] (u - 1)/16 √u du Resolvendo a integral, temos: A = 2π [((u - 1)√u)/24] [1,65] A = 2π [(64√65 - 8)/24] A = π/3 (16√65 - 2) Portanto, a alternativa correta é a letra B: 16π√17/17 u.a.
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