(CESGRANRIO – ESCRITURÁRIO – BANCO DO BRASIL – 2014) Sejam X o número de contratos realizados, e Y o número de contratos cancelados em uma determin...

Para resolver esse problema, precisamos utilizar a distribuição conjunta de X e Y, que é dada na questão. A partir dela, podemos calcular a probabilidade de que pelo menos quatro contratos novos tenham sido fechados e três contratos sejam cancelados no mesmo dia. A distribuição conjunta de X e Y é dada por: P(X = i, Y = j) = (i + j)/120, para i = 1, 2, 3 e j = 0, 1, 2, 3 Para calcular a probabilidade desejada, precisamos somar as probabilidades de todos os casos em que pelo menos quatro contratos novos foram fechados e três contratos foram cancelados no mesmo dia. Esses casos são: P(X = 4, Y = 3) + P(X = 5, Y = 3) + P(X = 6, Y = 3) + P(X = 3, Y = 4) + P(X = 4, Y = 4) + P(X = 5, Y = 4) + P(X = 6, Y = 4) + P(X = 4, Y = 5) + P(X = 5, Y = 5) + P(X = 6, Y = 5) + P(X = 5, Y = 6) + P(X = 6, Y = 6) Substituindo os valores na fórmula da distribuição conjunta, temos: P(X = 4, Y = 3) = 7/120 P(X = 5, Y = 3) = 8/120 P(X = 6, Y = 3) = 9/120 P(X = 3, Y = 4) = 7/120 P(X = 4, Y = 4) = 8/120 P(X = 5, Y = 4) = 9/120 P(X = 6, Y = 4) = 10/120 P(X = 4, Y = 5) = 9/120 P(X = 5, Y = 5) = 10/120 P(X = 6, Y = 5) = 11/120 P(X = 5, Y = 6) = 11/120 P(X = 6, Y = 6) = 12/120 Somando essas probabilidades, temos: P(pelo menos 4 novos e 3 cancelados) = 7/120 + 8/120 + 9/120 + 7/120 + 8/120 + 9/120 + 10/120 + 9/120 + 10/120 + 11/120 + 11/120 + 12/120 P(pelo menos 4 novos e 3 cancelados) = 103/120 Agora, precisamos calcular a probabilidade de que três contratos sejam cancelados no mesmo dia, dado que pelo menos quatro contratos novos foram fechados. Para isso, vamos utilizar a fórmula da probabilidade condicional: P(Y = 3 | X ≥ 4) = P(X ≥ 4, Y = 3) / P(X ≥ 4) A probabilidade de que pelo menos quatro contratos novos foram fechados é a soma das probabilidades de todos os casos em que isso ocorre: P(X ≥ 4) = P(X = 4, Y = 0) + P(X = 4, Y = 1) + P(X = 4, Y = 2) + P(X = 4, Y = 3) + P(X = 5, Y = 0) + P(X = 5, Y = 1) + P(X = 5, Y = 2) + P(X = 5, Y = 3) + P(X = 6, Y = 0) + P(X = 6, Y = 1) + P(X = 6, Y = 2) + P(X = 6, Y = 3) Substituindo os valores na fórmula da distribuição conjunta, temos: P(X = 4, Y = 0) = 4/120 P(X = 4, Y = 1) = 5/120 P(X = 4, Y = 2) = 6/120 P(X = 4, Y = 3) = 7/120 P(X = 5, Y = 0) = 5/120 P(X = 5, Y = 1) = 6/120 P(X = 5, Y = 2) = 7/120 P(X = 5, Y = 3) = 8/120 P(X = 6, Y = 0) = 6/120 P(X = 6, Y = 1) = 7/120 P(X = 6, Y = 2) = 8/120 P(X = 6, Y = 3) = 9/120 Somando essas probabilidades, temos: P(X ≥ 4) = 4/120 + 5/120 + 6/120 + 7/120 + 5/120 + 6/120 + 7/120 + 8/120 + 6/120 + 7/120 + 8/120 + 9/120 P(X ≥ 4) = 64/120 Agora, podemos calcular a probabilidade condicional: P(Y = 3 | X ≥ 4) = P(X ≥ 4, Y = 3) / P(X ≥ 4) P(Y = 3 | X ≥ 4) = (7/120) / (64/120) P(Y = 3 | X ≥ 4) = 7/64 Portanto, a probabilidade de que três contratos sejam cancelados no mesmo dia, dado que pelo menos quatro contratos novos foram fechados, é de 7/64. A resposta correta é a letra A) 2/3.