119. Calcular o numero da forma 3 . 10k para que ele admita 18 divisores. I - k = 2. II - k = 3. III - k = 4. IV - k = 5. V - k = 6. a) Apenas I e...

Para que um número da forma 3.10^k tenha 18 divisores, ele deve ser da forma p^2.q^2.r, onde p, q e r são primos distintos. Assim, temos que 3.10^k = p^2.q^2.r. Como 3 é primo, ele deve ser igual a um dos fatores. Como queremos que o número tenha 18 divisores, cada um dos fatores deve ser elevado a 1 ou 2. Se 3 = p, então p^2 = 9 e temos que q^2.r = 10^k. Como 10^k é par, q e r devem ser ímpares. Se q = 3, então r = 5^k, o que não é possível, pois 5 é primo e não pode ser fatorizado em q^2.r. Se q = 5, então r = 3^k, o que é possível. Assim, temos que o número é 3^2.5^2.3^k = 225.3^k. Se 3 = q, então q^2 = 9 e temos que p^2.r = 10^k. Como 10^k é par, p e r devem ser ímpares. Se p = 3, então r = 5^k, o que não é possível, pois 5 é primo e não pode ser fatorizado em p^2.r. Se p = 5, então r = 3^k, o que é possível. Assim, temos que o número é 5^2.3^2.3^k = 225.3^(k+2). Se 3 = r, então r^2 = 9 e temos que p^2.q^2 = 10^k. Como 10^k é par, p e q devem ser ímpares. Se p = 3, então q = 5^k, o que não é possível, pois 5 é primo e não pode ser fatorizado em q^2. Se p = 5, então q = 3^k, o que é possível. Assim, temos que o número é 5^2.3^2.5^(k-2) = 225.5^(k-2).3^2. Portanto, a alternativa correta é a letra C) Apenas III está correta.