Considere x, y, z algarismos diferentes entre si, dois a dois distintos. Sendo válida a igualdade: xy + yz + zx = xyz onde xy, yz, zx, xyz são núme...

Para resolver essa questão, podemos utilizar algumas propriedades da álgebra. Começando pela igualdade dada: xy + yz + zx = xyz. Podemos reescrevê-la como: xy + yz + zx - xyz = 0 Fatorando o lado esquerdo, temos: xy(z - 1) + yz(x - 1) + zx(y - 1) = 0 Como x, y e z são diferentes entre si, podemos afirmar que nenhum dos fatores xy(z - 1), yz(x - 1) ou zx(y - 1) é igual a zero. Portanto, a soma desses fatores é igual a zero: xy(z - 1) + yz(x - 1) + zx(y - 1) = 0 zxy - xy + xy - yz + yz - zx = 0 zxy - zx = 0 zx(y - z) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que y - z é diferente de zero. Portanto, zx = 0. Isso significa que um dos algarismos (x ou z) é igual a zero. Como x, y e z são diferentes entre si, podemos afirmar que x ou z é igual a 0 e o outro é diferente de zero. Suponha que x = 0. Então, a igualdade xy + yz + zx = xyz se torna: 0y + yz + 0z = 0yz yz = 0 Isso é impossível, já que y e z são diferentes entre si e diferentes de zero. Portanto, x é diferente de zero. Suponha que z = 0. Então, a igualdade xy + yz + zx = xyz se torna: xy + y0 + x0 = xy0 xy = 0 Isso também é impossível, já que x e y são diferentes entre si e diferentes de zero. Portanto, z é diferente de zero. Agora, podemos reescrever a igualdade xy + yz + zx = xyz como: xy + yz + zx - xyz = 0 xy + yz + zx - xzy = 0 xy - xzy + yz + zx = 0 xy(1 - z) + yz + zx = 0 xy(1 - z) = -yz - zx xy(z - 1) = yz + zx x = (yz + zx)/(y(z - 1)) Como x é um algarismo, temos que yz + zx é menor ou igual a 81 (9 x 9). Além disso, y(z - 1) é maior ou igual a 18 (2 x 9). Portanto, x é um número entre 2 e 9. Agora, podemos testar cada um dos valores possíveis de x (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e verificar se existe algum valor de y e z que satisfaça a igualdade xy + yz + zx = xyz. Para x = 2, temos: 2y + yz + z2 = 2yz z2 - yz + 2y = 0 (z - y)(z + 2) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é igual a 1. Mas isso é impossível, já que z é diferente de zero. Portanto, x não pode ser igual a 2. Para x = 3, temos: 3y + yz + z3 = 3yz z3 - yz + 3y = 0 (z - y)(z2 + yz + 3) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 4 ou 5. Testando cada um desses valores, encontramos: Para z = 4, temos: 3y + 4y + 4x3 = 3xy4 12 + 4y = 9y y = 4 Para z = 5, temos: 3y + 5y + 5x3 = 3xy5 15 + 5y = 9y y = 3 Portanto, para x = 3, temos y = 3 e z = 5 ou y = 4 e z = 4. Para x = 4, temos: 4y + yz + z4 = 4yz z4 - yz + 4y = 0 (z - y)(z3 + yz + 4) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 5, 6 ou 7. Testando cada um desses valores, encontramos: Para z = 5, temos: 4y + 5y + 5x4 = 4xy5 20 + 5y = 16y y = 4 Para z = 6, temos: 4y + 6y + 6x4 = 4xy6 24 + 6y = 16y y = 3 Para z = 7, temos: 4y + 7y + 7x4 = 4xy7 28 + 7y = 16y y = 4 Portanto, para x = 4, temos y = 3 e z = 6 ou y = 4 e z = 5 ou 7. Para x = 5, temos: 5y + yz + z5 = 5yz z5 - yz + 5y = 0 (z - y)(z4 + yz + 5) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 6, 7, 8 ou 9. Testando cada um desses valores, encontramos: Para z = 6, temos: 5y + 6y + 6x5 = 5xy6 30 + 6y = 24y y = 2 Para z = 7, temos: 5y + 7y + 7x5 = 5xy7 35 + 7y = 25y y = 5 Para z = 8, temos: 5y + 8y + 8x5 = 5xy8 40 + 8y = 24y y = 2,5 Para z = 9, temos: 5y + 9y + 9x5 = 5xy9 45 + 9y = 25y y = 3 Portanto, para x = 5, temos y = 2 e z = 6 ou y = 3 e z = 9 ou y = 5 e z = 7. Para x = 6, temos: 6y + yz + z6 = 6yz z6 - yz + 6y = 0 (z - y)(z5 + yz + 6) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 7, 8 ou 9. Testando cada um desses valores, encontramos: Para z = 7, temos: 6y + 7y + 7x6 = 6xy7 42 + 7y = 36y y = 2,33 Para z = 8, temos: 6y + 8y + 8x6 = 6xy8 48 + 8y = 36y y = 2,4 Para z = 9, temos: 6y + 9y + 9x6 = 6xy9 54 + 9y = 36y y = 3,6 Portanto, para x = 6, não existe nenhum valor inteiro para y e z que satisfaça a igualdade xy + yz + zx = xyz. Para x = 7, temos: 7y + yz + z7 = 7yz z7 - yz + 7y = 0 (z - y)(z6 + yz + 7) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 8 ou 9. Testando cada um desses valores, encontramos: Para z = 8, temos: 7y + 8y + 8x7 = 7xy8 56 + 8y = 49y y = 2,67 Para z = 9, temos: 7y + 9y + 9x7 = 7xy9 63 + 9y = 49y y = 3,15 Portanto, para x = 7, não existe nenhum valor inteiro para y e z que satisfaça a igualdade xy + yz + zx = xyz. Para x = 8, temos: 8y + yz + z8 = 8yz z8 - yz + 8y = 0 (z - y)(z7 + yz + 8) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 9. Testando esse valor, encontramos: Para z = 9, temos: 8y + 9y + 9x8 = 8xy9 72 + 9y = 64y y = 2,4 Portanto, para x = 8, não existe nenhum valor inteiro para y e z que satisfaça a igualdade xy + yz + zx = xyz. Para x = 9, temos: 9y + yz + z9 = 9yz z9 - yz + 9y = 0 (z - y)(z8 + yz + 9) = 0 Como y e z são diferentes entre si, temos que z é maior do que y. Portanto, z é igual a 1. Mas isso é impossível, já que z é diferente de zero. Portanto, x não pode ser igual a 9. Portanto, as únicas soluções inteiras para a igualdade xy + yz + zx = xyz são: x = 3, y = 3 e z = 5 ou y = 4 e z = 4. x = 4, y = 3 e z = 6 ou y = 4 e z = 5 ou 7. x = 5, y = 2 e z = 6 ou y = 3 e z = 9 ou y = 5 e z = 7. Agora, podemos calcular a soma x + y + z para cada uma dessas soluções: Para x = 3, y = 3 e z = 5, temos: x + y + z = 3 + 3 + 5 = 11 Para x = 4, y = 3 e z = 6, temos: x + y + z = 4 + 3 + 6 = 13 Para x = 4, y = 4 e z = 5, temos: x + y + z = 4 + 4 + 5 = 13 Para x = 4, y = 4 e z = 7, temos: x + y + z = 4 + 4 + 7 = 15 Para x = 5, y = 2 e z = 6, temos: x + y + z = 5 + 2 + 6 = 13 Para x = 5, y = 3 e z = 9, temos: x + y + z = 5 + 3 + 9 = 17 Para x = 5, y = 5 e z = 7, temos: x + y + z = 5 + 5 + 7 = 17 Portanto, as únicas soluções para x + y + z são 11, 13 e 17. A alternativa correta é a letra C) 21.